绝对值
1．多重符号的化简
化简规律：化简一个含有多重括号的非零有理数，结果与这个有理数前面的负号的个数有关．
①当“－”号的个数是奇数时，结果为负； ②当“－”号的个数是偶数时，结果为正．
由于正号可以省略，所以化简符号时，主要看这个数前面“－”号的个数． 【例1】 化简下列各数的符号：
(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]． 分析：
题号 (1) (2) 解：(1)－{－[＋(－10)]}＝－10； (2)－[－(＋5)]＝5.
点评：化简一个含有多重括号的非零有理数，可以逐步地由内向外层层化简，也可以根据“奇负偶正”的规律进行化简． 2.绝对值的求法
绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．
求绝对值的方法：
(1)先判断这个数是正数、负数，还是0.
(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值．
绝对值的代数意义：
①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0.
弄清绝对值与相反数符号的意义及相反数和绝对值的求法，是求含有绝对值符号式子的关键． 负号的个数 3 2 答案 －10 5 3
【例2－1】 求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，－.
2
分析：可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解．
?3?3
解：|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，?－?＝.
?2?2
【例2－2】 求下列各式的值：
?5?|＋2 013|，|－3.9|，－?－?，－|＋18|. ?6?
分析：
|＋2 013| |－3.9| 求＋2 013的绝对值 求－3.9的绝对值 5求－的绝对值的相反数 6求＋18的绝对值的相反数 ?5?－?－? ?6?－|＋18| 解：|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9， 5?5?－?－?＝－，－|＋18|＝－18. 6?6?
3.利用绝对值比较大小
(1)利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 比较的具体步骤： ①先求两个负数的绝对值； ②比较绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断． (2)几个有理数的大小比较
①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．
②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较． 【例3－1】 比较下列每组数的大小： 2
(1)－3和－2.9；(2)－和－0.6.
3
分析：可先求出它们的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较大小． 解：(1)因为|－3|＝3，|－2.9|＝2. 9,3＞2.9，
2
所以－3＜－2.9；
2?2??2?(2)因为?－?＝??，|－0.6|＝0.6，＞0.6， 3?3??3?2
所以－＜－0.6.
3
3
【例3－2】 求下列各数的绝对值，并用“>”将各数排列起来：－，＋1,0，－2.3.
2分析：根据绝对值的意义来求各数的绝对值；根据“正数大于0”“0大于负数”“两个负数，绝对值大的反而小”来比较它们的大小．
3?3?3
解：因为?－?＝，|＋1|＝1，|0|＝0，|－2.3|＝2.3，所以＋1＞0＞－＞－2.3.
2?2?24．绝对值的非负性的应用 绝对值的非负性
(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的最小值为0. (2)若几个数的绝对值相加和为0，则这几个数的值都为0. 用式子表示为：
若|a|＋|b|＋|c|＝0，则a＝0，且b＝0，且c＝0. 可以利用上面的知识求字母的值． 【例4－1】 当m＝__________时，5＋|m－1|有最小值，最小值是__________． 解析：根据“任意一个有理数的绝对值都是非负数”来解答．
因为|m－1|≥0，所以当m＝1时，|m－1|有最小值为0，则5＋|m－1|的最小值是5＋0＝5.
答案：1 5
【例4－2】 已知|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，求a，b，c的值． 分析：当3个绝对值相加等于0时，说明每个绝对值都等于0.
解：因为|a－2|≥0，|7－b|≥0，|c－3|≥0，且|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，所以|a－2|＝0，|7－b|＝0，|c－3|＝0，
所以a＝2，b＝7，c＝3. 5.相反数与数轴的综合应用
比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：
(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来； (2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系． 【例5】 如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是( )．
3
A．a＜1＜－a C．1＜－a＜a
B．a＜－a＜1 D．－a＜a＜1
解析：观察数轴可知，a＜0，且|a|＞1.因为－a是a的相反数，所以－a＞0，且－a＞1.先在数轴上标出有理数a的相反数－a的对应点，再排列大小可以得到a，－a,1的大小关系是a＜1＜－a，故选A.
答案：A 6.利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：
(1)判断物体或产品质量的好坏
可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好． 方法：
①求每个数的绝对值； ②比较所求绝对值的大小；
③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断． (2)利用绝对值求距离
路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．
方法：
①求每个数的绝对值； ②求所有数的绝对值的和； ③写出答案． 【例6－1】 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )．
解析：因为|－0.8|＜|＋0.9|＜|＋2.5|＜|－3.6|，所以从轻重的角度看，最接近标准的是C.
答案：C
【例6－2】 一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？
分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”号和“－”号在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在运营中所行驶的路程，因此求总共行驶的路
4
程应是每次行车里程绝对值之和．
解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．
答：小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了87千米．
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七年级数学上册 第二章 有理数 2.4 绝对值与相反数 绝对值基本方法篇素材（新版）苏科版
