立体几何中最值问题求解策略
立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。
策略一 转化为求函数最值
例 1 已知正方形 ABCD、 ABEF所在平面互相垂直， AB= 2 ,M 为线段 AC 上一动
点，当 M 在什么位置时， M 到直线 BF 的距离最短
分析：本题是求点到线距离最值问题， 实际上就是求异面直线 AC、BF 间距离。 可用代数中求最值的方法来解决。
解： 作 MH AB于 H,作 HN BF于 N ,易知 MH
由三垂线定理可知， MN BF.
设 AM=x,则 MH=AH= x,BH= 2 则 MN=MH+HN= x2
222平面 ABEF.
C
2
12
2
(1 x) = 2
12 x ,HN= HB=1 1 x 2 2 2
2
D
M
23
B H
E
( x 2) 2
3
4
6 。 3
2
3
N
F
A
所以当 AM= 时， MN 有最小值
3
2
A
策略二 借助 均值不等式求最值 例 2 求半径为 R 的球内接正三棱锥体积的最大值。
解：如右图所示，设正三棱锥高 O1 A =h, 底面边长为 a
O
D O 1
B
C 由正三棱锥性质可知 O1 B =
3
3
a ，又知 OA=OB=R
则在 Rt ABC 中， ( a)2 R2 (h R)2
3
3
a2
3h(2 R h)
V=g a2h
13
3
4
h2 (2 R h)
3g2 2
h h
(2 R h)3 ?
2
h h
3
2R h
2
3
3 4
=
8 327
R (当且仅当 3h 2
2R h ，即 h
4 R 时，取等号 ) 3
正三棱锥体积最大值为
8 3R3
27
策略三 例 3 别是1,2
借助最小角定理建立不等关系
l
是直二面角， A
12 的最大值。 , B
, A ，B 不在 l 上，设 AB 与 ,
成的角分
，求
解析：如图所示，过 A 作 L 垂线，垂足为 C,易知 AC
2,
A C
D
B
过 B 作 L 垂线，垂足为 D,易知 BD
BAD
.所以 ABC
2
L
1 ，在 Rt
ABD 中， ABD
2
DAB
2
2
1
D1
C 1 由最小角定理可知
2 2
BAD
2 1，所以 1
。 2
当 D、C重合时， 1 策略四
借助侧面展开图求最短路径
。所以最大值为 。
2 2
例 4 长方体 ABCD
A1B1C1 D1 中， AB=6,BC=5,CC1 4, 一只蚂蚁从 A1 出发，沿A
1
B
1
长方体表面到达 C 处，求蚂蚁爬过的最短距离。
D
C
解：如左图所示 ,蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果
比较而求得最值。
A1
A
B
B
A
. AC
1
1
( A A AB)
1
2
BC
2
=
2 (6 4)
2
125
(1
D 1
5
、
D
C
2 AC1
( AB BC)2 AA1 2 = (6 5)2 42 (AA1 AD)
137
2
A 1
B 1
C 1
3
AC
2
DC
2
(4
2 5)
6 117
2
A
B
A1
C
B 1
1
A
B
显然第 3 种距离最短 。
利用极限思想
3
D
P
C
策略五
例 5 1 三棱锥 P-ABC中，若棱 PA=x,其余棱长均为 1，探讨 x 是否有最
值；
2 若正三棱锥底面棱长棱长均为 1，探讨其侧棱否有最值。 解析：如图第 1 题：当 P-ABC为三棱锥时， x 的最小极限是 P、A 重合，取值为 0，若 PBC 绕 BC顺时针旋转， PA变大， 最大极限是 P,A,B,C共面时， PA为菱形 ABPC的对角线长度为 3
A C O
B
第 2 题：若 P 在底面的射影为
O,易知 PO 越小，侧棱越小。故 P、O 重合
时，侧棱取最小极限值
3
3
，PO 无穷大时，侧棱也无穷大。
可知两题所问均无最值。
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