第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案
3-1 已知系统脉冲响应k(t)?0.0125e?1.25t，试求系统闭环传递函数?(s)。
?? 解 ?(s)?L?k(t)??0.0125/(s?1.25)
3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程Tc(t)?c(t)??r(t)?r(t) 近似描述，其中，0?(T??)?1。试求系统的动态性能指标td,tr,ts。
解 设单位阶跃输入R(s)?当初始条件为0时有：
1 sC(s)?s?1? R(s)Ts?1?s?111T??T???t/T c(t)?h(t)?1????e
Ts?1ssTs?1T?T?? h(0)?，h(?)?1，??0.05[h(?)?h(0)]?
T20T?C(s)?1) 当 t?td 时
h(t)?h(0)?0.5[h(?)?h(0)]?1?
T???td/tT?? e?T2T1?e?td/T ; td?0.693T 2 2) 求tr（即c(t)从0.1h(?)到0.9h(?)所需时间)
T???t2/T; eTT???t1/T 当h(t)?0.1[h(?)?h(0)]?h(0)?1?; eT 当h(t)?0.9[h(?)?h(0)]?h(0)?1? t2?TlnT??T??， t1?Tln
0.1(T??)0.9(T?)? 则 tr?t2?t1?Tln9?2.2T
3) 求 ts
h(ts)?0.95[h(?)?h(0)]?h(0)?1?T???ts/T eT?ts?Tln0.05?3T
3-3 一阶系统结构如图所示。要求系统闭环增益k??2，调节时间ts?0.4s，试确定参数k1,k2的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数
1k1k1k2s?(s)???
k1k2s?k1k2s?11?k1k2s
闭环增益k??1?2， 得：k2?0.5 k23?0.4，得：k1?15。 k1k2令调节时间ts?3T?
3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。
(1) 若r(t)?1(t)，n(t)?0两种系统从响应开始达到稳态温度值的％各需 多长时间(2) 当有阶跃扰动n(t)?0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。
解 （1）对（a）系统：
Ga(s)?K1， 时间常数 T?10 ?10s?110s?1? h(T)?0.632 （a）系统达到稳态温度值的%需要10个单位时间；
10010100对（b）系统：?b(s)? ?101， 时间常数 T?1010110s?101s?1101? h(T)?0.632 （b）系统达到稳态温度值的%需要个单位时间。
（2）对（a）系统： Gn(s)?C(s)?1 N(s)n(t)?0.1时，该扰动影响将一直保持。
对（b）系统： ?n(s)?C(s)?N(s)110s?1? 10010s?1011?10s?11?0.001。 101n(t)?0.1时，最终扰动影响为0.1?3-5 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0
ts?3.5??n?3， ???n?1.17；
tp??1??2?n?1， ?1??2?n?3.14
综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。
3-6 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。
（1） 若??0.5对应最佳响应，问起博器增益K应取多大 （ 2） 若期望心速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际心速
为多少瞬时最大心速多大解 依题，系统传递函数为
K?20.05n?(s)??2 21Ks?2??s??2nns?s?0.050.05令 ??0.5可解出 ??K????n0.05 ?1????0.05?2?n??K?20
??20?n将 t?1s代入二阶系统阶跃响应公式
h(t)?1?e???nt1??2sin1??2?nt??
??可得 h(1)?1.000024次s?60.00145次min
??0.5时，系统超调量 ?%?16.3%，最大心速为 h(tp）?1?0.163?1.163次s?69.78次min
3-7 机器人控制系统结构如图所示, 试确定 参数k1,k2值，使系统阶跃响应的峰值时间
tp?0.5s，超调量?%?2%。
解 依题，系统传递函数为
K12K??nK1s(s?1)?? G(s)? 2K1(K2s?1)s2?(1?K1K2)s?K1s2?2??ns??n1?s(s?1)??o?e???1??2?0.02???0.78?o?由 ? 联立求解得 ?
tp??0.5??10?n?21???n?比较?(s)分母系数得
?K1??2n?100?2??n?1 ? K2??0.146?K1?3-8 下图(a)所示系统的单位阶跃响应如图(b)所示。试确定系统参数k1,k2，a和闭环传递函数
?(s)。
解 由系统阶跃响应曲线有
?h(?)?3? ?tp?0.1
?o??o?(4?3)3?33.3oo系统闭环传递函数为
K1K2K2?2n ?(s)?2 （1） ?22s?as?K1s?2??ns??n??t??0.1p???0.33?2由 ? 联立求解得 ? 1???n??33.28?n?o???1??2o??e?33.3o?o?K1??2n?1108由式（1）?
?a?2??n?22另外 h(?)?lims?(s)?s?0KK1?lim212?K2?3 ss?0s?as?K1?(s)?3322.68
s2?21.96s?1107.56
3-9 已知系统的特征方程为D(s)，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。 （1） D(s)?s?8s?24s?100?0 （2） D(s)?3s?10s?5s?s?2?0
43232 (3) D(s)?s?2s?2s?4s?11s?10?0 (4) D(s)?s?3s?12s?24s?32s?48?0 (5) D(s)?s?2s?4s?2s?5?0 解 （1） D(s)?s?8s?24s?100?0
Routh： s 1 24 s 8 100 s 92 s
0 12 3
5432543243232100 第一列同号，所以系统稳定。
32（2） D(s)?3s?10s?5s?s?2?0
Routh： s 3 5 2
s 10 1
s 47 20 s -153 s 20
第一列元素变号两次，有2个正实部根。
（3）D(s)?s?2s?2s?4s?11s?10=0 Routh： S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 ? 6 S2 4?54320 12 34
4?12? 10
S 6 S0 10
第一列元素变号两次，有2个正实部根。
（4）D(s)?s?3s?12s?24s?32s?48=0
Routh： s5 1 12 32
s4 3 24 48
54323?12?2432?3?48?4 ?16 0 334?24?3?16?12 48 s2
412?16?4?48 s ?0 辅助方程 12s2?48?0,
12 s 24 辅助方程求导：24s?0
s3
s0 48
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