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立体几何---鳖臑 广东二师附中 数学科组 罗剑锋
2018年6月14日
2015年湖北高考数学之后，广大考生感言： 阳马、鳖臑，想说爱你不容易；
中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理； 试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化. 阳马、鳖臑是什么呢？ 1 试题再现
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图1，在阳马ABCDP中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE
(I)证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明
理由；
(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．
阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵. 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. 2 2 试题赏析
《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章 立体几何初步”的“第六节
垂点P为ABC所在直关系”的例题如图4所示，在
中，90B，平面外一点，PA平面ABC。问：四面体PABC中有几个直角三角形？（哪个角是直角？）
如图5，鳖臑几何体PABC中，PA平面ABC，ACCB，AMPB于M，ANPC于N．证明： PBMN． 3
典型例题
例1、2017年广州一测（10）变式
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四
个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑, PA⊥平面ABC, 4PAAC，2AB,
三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表 面积为（ ） （A）8 （B）12 （C）20 （D）32 P A C
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