不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.
8.2 偏导数 1. 已知
f(x?y,ey)?x2y,求f(x,y)
y?y?lnv 令x?y?u,e?v那么解出x,y得?,
x?u?lnv?所以或者
8.3全微分极其应用
1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数偏导数
f(u,v)?x2(u,v).y(u,v)?(u?lnv)2.lnv f(u,v)?(u?lnv)2.lny
fx?, fy?连续?Z可微? Z?f(x,y)连续? f(x,y)极限存在 fx?, fy?连续?偏导数fx?, fy?存在
2. 判断二元函数
?xy?f(x,y)??3x2?y2?0?(x,y)?(x0,y0)(x,y)?(x0,y0)在原点处是否可微.
对于函数
f(x,y),先计算两个偏导数:
f(?x,0)?f(0,0)0?0fx?(0,0)?lim?lim?0
?x?0?x?0?x?xfy?(0,0)?lim?x?0f(0,?y)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?y?y?x?y22??(?x)?(?y)??56又
x?x0y?y0limf(?x,?y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y(?x)?(?y)22?limx?x0y?y0
令?y?k?x,则上式为limk(?x)2(1?k)?x52653?x?0?k(1?k)5?x?026lim?x?0
13因而
f(x,y)在原点处可微.
8.4多元复合函数的求导法则 1. 设z?f(xy),fx?y可微,求dz.
dz?f?(?f?(
xyxyxy(x?y)d(xy)?xyd(x?y))d()?f?()x?yx?yx?y(x?y)222xyyxyy?)dx?f()dyx?y(x?y)2x?y(x?y)2
8.5隐函数的求导
1. 设x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0所确定的具有连续偏导数
的函数,证明
?x?y?z..??1. ?y?z?x对于方程
F(x,y,z)?0,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且Fx??0,则由方程
F(x,y,z)?0可以确定函数x?x(y,z),即x是y,z的函数,而y,z是自变量,此时具有偏导
Fy??xFz??x??数,???z?yFx?Fx?同理,
F??y??z?zFy?,所以
?x?y?z..??1. ?y?z?x
8.6多元函数的极值及其求法 1.设
f(x,y)在点p0(x0,y0)处具有偏导数,若fx?(x,y)?0,fy?(x,y)?0则函数f(x,y)在该点
取得极值,命题是否正确?
不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.
2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？ 不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。
例如，二元函数Z?f(x,y)?3x2?3y2?x3，(x2?y2?16)
由二元函数极值判别法：
?z?6x?3x2?0，解得 x1?0，x2?2， ?x?z?6y?0， 解得 y?0 ?y故得驻点M1?(0,0)，M2?(2,0)
?2z?2z?2z?0， C?2?6 A?2?6?6x，B??x?y?y?xAC?B2?36(1?x)
由于 以及
AC?B2(0,0)0，AC?B2(2,0)0，
f(0,0)，
A(0,0)0，所以M1?(0,0)，是函数的惟一极小值点，但是f(4,0)??16故
f(0,0)不是f(x,y)在D上的最小值.
第十一章 无穷级数
11.1常数项级数的概念和性质
1?2n?1n(?1)n21un??nnn?1??1. 若通项an?0，则级数
?n?1?ann收敛，这种说法是否正确？否
an11?(an?2)n2n2. 若级数
?an?1?n加括号后所成的新级数发散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无
法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确
11.2常数项级数的审敛法 1. 若级数
?un?1?n收敛，则级数
?un?1?2n一定收敛。判断这句话是否正确？
(?1)n不正确，如?nn?1??，un2?1 n?2. 若正项级数
?an收敛，判断级数?n?1n?1ann的敛散性。
收敛 因为??an111?(an?2)，由于?an收敛，?2n2nn?1n?1n收敛，于是
?n?1?ann收敛。
3. 收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。
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