【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，f?x?≥0显然成立；当x＞0 即x???1,1?时，f?x??ax3?3x?1≥0可化为，a?设g?x??31? x2x33?1?2x?31?1??1?'0,,1?上单调递减，gx?，则， 所以 在区间上单调递增，在区间?gx?????423??xxx?2??2??1???4，从而a≥4； 2??因此g?x?max?g?当x＜0 即??1,0?时，f?x??ax3?3x?1≥0可化为a?3?1?2x?31'gx?，??0 ??423xxxg?x? 在区间??1,0?上单调递增，因此g?x?man?g??1??4，从而a≤4，综上a＝4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式． 解：由已知条件及三角函数的定义可知，cos??225,cos??， 105因为?,?为锐角，所以sin?=因此tan??7,tan??（Ⅰ）tan(???)=
725,sin?? 1051 2tan??tan???3
1?tan?tan?（Ⅱ） tan2??2tan?4tan??tan2??tan??2????1 ，所以??21?tan?31?tan?tan2?∵?,?为锐角，∴0???2??3?3?，∴??2?= 2416．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． 解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
∵EF?面ACD ，AD? 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD. 又EF
17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．
解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=?(rad) ，则OA?AQ10, 故 ?cos?cos?10，又OP＝10?10tan?10－10ta?， cos?1010所以y?OA?OB?OP???10?10tan?，
cos?cos?OB?所求函数关系式为y???20?10sin???10?0????
4?cos??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10?
?10cos?cos???20?10sin????sin??10?2sin??1??（Ⅱ）选择函数模型①，y?
cos2?cos2?'令y?0 得sin ??当???0,'1??，因为0???，所以?=，
624'????6??时，y?0 ，y是?的减函数；当????????,?时，y'?0 ，y是?的增函数，所以当?=时，
6?64?ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
103km处。 318．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． 解：（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f?x??x?2x?b?0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
22（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x?y?Dx?Ey?F?0
2令y＝0 得x?Dx?F?0这与x?2x?b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b． 令x＝0 得y?Ey＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1． 所以圆C 的方程为x?y?2x?(b?1)y?b?0. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）． 同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。
2222222解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0 事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则 a2=(d-d0)(a+d0) 由此得d0=0
（1）(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3
①若删去a2，则由a1,a3,a4 成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d) 因d≠0，故由上式得a1=－4d，即
a1=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。 d②若删去a3，则由a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d) 因d≠0，故由上式得a1=d，即综上可知，
a1=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。 da1的值为－4或1。 d(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,……,an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。
当n=5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5
成等比数列，故
(a1+d)2=a1(a1+3d)
及
(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)
分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。 综上可知，n只能为4.
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+ d′,……，b1+(n-1) d′(b1 d′≠0)，其中三项b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列，这里0≤m1 (b1+m2 d′)=(b1+m1 d′)(b1+m3 d′) 化简得 (m1+m3-2m2)b1 d′=(m2-m1m3) d′ (*) 2 2 2由b1 d′≠0知，m1+m3-2m2与m2-m1m3或同时为零，或均不为零。 若m1+m3-2m2=0且m2-m1m3=0，则有(2 22m1?m32)-m1m3=0， 2即(m1-m3)=0，得m1=m3，从而m1=m2=m3，矛盾。 因此，m1+m3-2m2与m2-m1m3都不为零，故由（*）得 22m2?m1m3b1 ?'dm1?m3?2m2因为m1，m2，m3均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而 b1是一个有理数。 'd于是，对于任意的正整数n≥4,只要取 b1为无理数，则相应的数列b1,b2,……,bn就是满足要求的数列，例如,取b1=1, 'dd′=2，那么，n项数列1,1+2,1+22,……,1?(n?1)2满足要求。 20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）f?x??f1?x?恒成立?f1?x??f2?x??3x?p1?23x?p2?3x?p1?x?p2?3log32 ?x?p1?x?p2?log32（*） 因为x?p1?x?p2??x?p1???x?p2??p1?p2 所以，故只需p1?p2?log32（*）恒成立 综上所述，f?x??f1?x?对所有实数成立的充要条件是：p1?p2?log32 （Ⅱ）1°如果p1?p2?log32，则的图像关于直线x?p1对称．因为f?a??f?b?，所以区间?a,b?关于直线x?p1 对称． 因为减区间为?a,p1?，增区间为?p1,b?，所以单调增区间的长度和为2°如果p1?p2?log32. x?p?log2x?p???31,x??p1,b??323,x??p2,b?（1）当p1?p2?log32时.f1?x???p?x，f2?x???p?x?log2 231,x??a,p2????3,x??a,p1??3b?a 2当x??p1,b?， f1?x??3p2?p1?log32?30?1,因为f1?x??0,f2?x??0，所以f1?x??f2?x?， f2?x?x?p1故f?x??f1?x?=3当x??a,p2?， f1?x??3p1?p2?log32?30?1,因为f1?x??0,f2?x??0，所以f1?x??f2?x? f2?x?p2?x?log32故f?x??f2?x?=3 因为f?a??f?b?，所以3b?p1?3p2?a?log32，所以b?p1?p2?a?log32,即 a?b?p1?p2?log32 当x??p2,p1?时，令f1?x??f2?x?，则3p1?x?3x?p2?log32，所以x?p1?p2?log32， 2当x??p2,??p1?p2?log32?x?p2?log32时，，所以= 3fx?fxfx?fx????????122?2??p?p2?log32?x??1,p1?时，f1?x??f2?x?，所以f?x??f1?x?=3p1?x 2??f?x?在区间?a,b?上的单调增区间的长度和b?p1?=b?p1?p2?log32?p2 2p1?p2?log32a?bb?a ?b??222x?p?log2x?p???31,x??p1,b??323,x??p2,b?（2）当p2?p1?log32时.f1?x???p?x，f2?x???p?x?log2 231,x??a,p2????3,x??a,p1??3当x??p2,b?， f1?x??3p2?p1?log32?30?1,因为f1?x??0,f2?x??0，所以f1?x??f2?x?， f2?x?x?p2?log32故f?x??f2?x?=3当x??a,p1?， f1?x??3p1?p2?log32?30?1,因为f1?x??0,f2?x??0，所以f1?x??f2?x? f2?x?p1?x故f?x??f1?x?=3 p1?a因为f?a??f?b?，所以3?3b?p2?log32，所以a?b?p1?p2?log32 x?p1当x??p1,p2?时，令f1?x??f2?x?，则3当x??p1,?3p2?x?log32，所以x?p1?p2?log32， 2??p1?p2?log32?x?p13时， ，所以= fx?fxfx?fx????????121?2??p?p2?log32?x??1,p1?时，f1?x??f2?x?，所以f?x??f2?x?=3p2?x?log32 2??f?x?在区间?a,b?上的单调增区间的长度和b?p2?=b?p1?p2?log32?p1 2p1?p2?log32a?bb?a ?b??222b?a 2综上得f?x?在区间?a,b?上的单调增区间的长度和为
2008—2015年五年高考数学试题及答案江苏省(word版)
