2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1.如果集合A.B同时满足AB??1.2.3.4?AB??1?,A??1?,B??1?就称有序集对?A,B?为“好集对”。这里的有序集对?A,B?意指当A?B，?A,B?和?B,A?是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数f?x??lg?10?x?1?,方程f??2x??f?1?2x?的解为()
A.log2?lg2??1B.lg?log210??1C.lg?lg2??1D.log2?log210??13.设
A?100101102499500是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是()
4.在直角ABC中,?C?90,CD为斜边上的高,D为垂足.AD?a,BD?b,CD?a?b?1.设数列?uk?的通项为uk?ak?ak?1b?ak?2b2????1?bk,k?1,2,3,k,则()
5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列
?an?,易见a1?1,a2?3,a3?7,a4?9,a5?13那么
a2007?____________A. 9597 B. 5519 C. 2831 D. 2759
6.设
A?1?cos30 +1+cos70+1+cos110 + B?1?cos3 +1-cos7+1-cos11 +0001+cos870 1-cos870则A:B???
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设n?2007,且n为使得an=?2-2?i2+2取实数值的最小正整数,则对应此n的
?nan为
9.若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.
10.平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,顶点A出发的三条棱AA1,AB,AD的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线AC1,BD1,DB1,CA1的长度(按顺序)分别为___________________
11.函数f?x?,g?x?的迭代的函数定义为f?1??x??f?x?,f?2??x??f?f?x??,
f?n??x??ff?n?1??x?,g?1??x??g?x?,g?2??x??g?g?x??,??g?n??x??gg?n?1??x?其中
??n=2,3,4…
?f?9??x??g?6??y???设f?x??2x?3,g?x??3x?2,则方程组?f?9??y??g?6??z?的解为_________________
??9??6?fz?g???x???12.设平行四边形ABCD中，AB?4,AD?2,BD?23,则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________
三．解答题
13.已知椭圆?:3x2?4y2?12和点Q?q,0?,直线l过Q且与?交于A,B两点(可以重合). 1)若?AOB为钝角或平角(O为原点),q?4,试确定l的斜率的取值范围.
2)设A关于长轴的对称点为A1,F为椭圆的右焦点,q?4,试判断A1和F,B三点是否共线,并说明理由.
3)问题2)中,若q?4,那么A1,F,B三点能否共线请说明理由. 14.数列?xn?由下式确定:xn?1?xn,n?1,2,3,22xn?1,x1?1,试求
lgx2007整数部分k??lgx2007?.(注?a?表示不大于a的最大整数,即a的整数部分.) 15.设给定的锐角ABC的三边长a,b,c,正实数x,y,z满足
ayzbzxcxy???p,其中p为给xyz定的正实数,试求s??b?c?a?x2??c?a?b?y2??a?b?c?z2的最大值,并求出当s取此最大值时,x,y,z的取值.
2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题
A.3.C.4.A.
第1题解答过程
逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A和B.
元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.
同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.
所以4个元素满足条件的选择共有2?2?2?2?6种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C.
第2题解答过程
令y?lg(10?x?1)，则y?0，且10?x?1?10y，10?x?10y?1，?x?lg(10y?1)，
x??lg(10y?1).从而f?1(x)??lg(10x?1).令2x?t，则题设方程为f(?t)?f?1(t)，即
lg(10t?1)??lg(10t?1)，(10t?1)(10t?1)?1，102t?2，故lg[(10t?1)(10t?1)]?0，2t?lg2，
11lg2.从而x?log2(lg2)?log2(lg2)?1.答：A. 22第3解答过程
注意126?2?7?9,2,7和9两两互质.因为A?0（mod2）, ?100?101?102???500?（100?500）?401?2?120300?6（mod9）, 所以A?6（mod18）.（1） 解得2x?t?又因为10??1，1033ni?(?1)（mod7）,所以A??(500?i)?10??(500?i)?（?1）
n400i?03i400i?0.(2)，（1），?(500?499)?(498?497)?(496?495)???(102?101)?100?300?6（mod7）（2）两式以及7和18互质，知A?6（mod126）.答：C.
另解：126?2?63，63999999，999999?106?1，，n?1,2,3,?所以（106?1）（106n?1）A?100?101200?101102?101194?103104?101188???497498?106?499500
?999999B?60060300?999999C?60360，
其中B，C为整数.从而A?63D?60360?63E?6，其中D，E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6.答：C. 第4解答过程
2（a?b）?ab，又已知a?b?1，故ab?1，a(a?1)?1，易见CD2?AD?BD，即
ba2?a?1?0；b(b?1)?1，b2?b?1?0.显然uk是首项为ak，公比为q??的等比数列
aak(1?qk?1)ak?1?(?b)k?1?的前k?1项和.故uk?，k?1,2,3?.
1?qa?b即uk?uk?1ak?1?(?b)k?1ak?2?(?b)k?21???[ak?2?ak?1?(?b)k?2?(?b)k?1]
a?ba?ba?b1[ak?3?(?b)k?3]?uk?2，k?1,2,3?. a?b故答案为A.（易知其余答案均不成立）
?2（a?b）?ab，又已知a?b?1，故ab?1，另解：易见CD2?AD?BD，即
2(a?b）?(a?b)2?4ab?12?4?1?5，a?b?5.解得
a?5?1，b?25?1. 2b显然uk是首项为ak，公比为q??的等比数列的前k?1项和，故
aak(1?qk?1)ak?1?(?b)k?111?5k?11?5k?1uk???[()?()]，k?1,2,3,?.于是数
1?qa?b225列?uk?就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…， 它满足递推关系uk?2?uk?1?uk,k?1,2,3,?.所以答案为A. 第5题解答过程
?an?可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除
的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，
m中不能被2，5或11整除的项的个数为
?m??m??m??m??m??m??m?xm?m????????????????????， ??2??5??11??55??22??10??110?其中?a?不表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.
mmmmmmm111???????m?(1?)(1?)(1?) 251155221011025111410411?m，故m?2007??5519. ?m???2511114又因
估值：设2007?xm?m??5519??5519??5519??5519??5519??5519??5519?x5519?5519????????????????????2511552210?????????????110??
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007， 并且5519不是2，5，11的倍数，从而知a2007?5519.答：B.
又解：?an?可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11
，?3，?7，?9；?13，?17，?19；?21，整除的数为?1
?23，?27，?29；?31，?37，?39；?41，?43，?47，?49；?51，?53,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互
111质的数的个数，等于?（110）?110?（1?）?（1?）?（1?）?40.）
2511显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，110?50?5500中，不能被2，5，11整除的数有40?50?2000个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的a2007?5519.答：B.
第6题解答过程
1?cos3?1?cos7?1?cos87?显然 ?????2222A?cos1.5??cos3.5??cos5.5????cos43.5?； ?sin1.5??sin3.5??sin5.5????sin43.5?.
注意到
2cos?sin1??sin(??1?)?sin(??1?)，2sin?sin1??cos(??1?)?cos(??1?),
所以
?(sin44.5??sin42.5?)?sin44.5??sin0.5??2cos22.5?sin22?， ?(cos42.5??cos44.5?)?cos0.5??cos44.5??2sin22.5?sin22?.
故A:B?(2sin1???2?1.答：D.
A2):(2sin1??B2)?(2cos22.5?sin22?):(2sin22.5?sin22?)?cot22.5?
另解：
A2B2?cos1.50?cos3.50?cos5.50????cos43.50，
?sin1.5??sin3.5??sin5.5????sin43.5?，
sin22???(cos22.5?isin22.5). =?sin1Asin22?cos22.5?Bsin22?sin22.5?AB??因为和是实数，所以，,
sin1?sin1?2222A:B?A2:B2?cos22.52cos22.51?cos45???????sin22.52sin22.5cos22.5sin45?2??1?22?2?2?2?1. 222答：D.
第7解答过程
安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
