专插本高等数学13页练习

由天下分享时间：2025/1/13 16:38:24 加入收藏我要投稿点赞

第一章函数、极限和连续

注：补充例题或习题已在题号前标注*

一、函数

?1,1?2例1（1）求函数f?x??ln?x?2??的定义域.（2）求函数f?x???1?x2x?1?3x?2,?例2设函数g?x??x?2，f??g?x????ln?x?2?，则f?1?? . 例3已知f?x??ln?1?x?，f????x????x，求??x?. 例4若??x?22?x?3的定义域.

?1????x?x?1，则??x?? . x例5已知f?x?的定义域为全体实数，f?x?1??x?x?1?，则f?x?1?? . 例6判断函数f?x??lgx??x2?1的奇偶性.

?二、极限

例1求下列各题的极限

x2?1?1x3?3x2?2x2??1limlim?（1）lim.（2）.（3）??.（4）xlim2x?0x??2x?1x?1???sin2x2x?1x2?x?6??例2设当x?0，1?ax2?1与sinx是等价无穷小，则a? . 2?x2?2x?x2?x.

?例3当x?0时，下列变量与x为等价无穷小量的是（）. A.sin2x B.1?cosx C.1?x?1?x D.xsinx 例4求下列各题的极限（1）limtan2xtanx?sinx.（2）lim. 3x?0sin5xx?0sinx1?12x例5求下列各题的极限

?1?（1）lim??x?01?x???x?2?.（2）lim??x???x?x1x3x?2?x?1?.（3）lim??x??x?1??x2x?42?x?a?.（4）lim??（其中a为常数）. x??x?2a??x*例5求下列各题的极限（1）lim??a?b?c?1?1?tanx?1?sinx?.（2）.（3）. limcoslim???2x??x?0x?0x?3?x1?sinx?x??xx

例6求下列各题的极限

x2cosxsinx（1）lim.（2）lim3.

x??x?x?1x??x1 / 15

例7求lim?n???12?n?1?1n2?2?...???. 2n?n?1例8在下列函数中，当x?0时，函数f?x?极限存在的是（）.

?x?1,?A.f?x???0,?x?1,??x?,x?0 B. f?x???x?1,x?0?x?0?1?2?x,?x?0 C. f?x???0,?1x?0?x?,2?x?0x?0 D.f?x??ex?01x

2n?a0xn?a1xn?1?...?an?1x?an?1例9（1）lim?2?2?...?2?.（2）lim. mm?1n??nx??nnbx?bx?...?bx?b??01m?1m（3）lim2sinn???nx1?cos2x.（4）. limx?0xsin2x2nx2?kx?3x2?ax?b?4，求常数k的值.（6）已知lim2?2，求常数a,b的值. （5）已知limx?3x?2x?x?2x?3三、函数的连续性

?1?xsinx,?例1设函数f?x???k,?1?xsin?1,x??x?2,?2例2设函数f?x???x?a,?bx,?

x?0x?0在其定义域内连续，求常数k的值. x?0x?00?x?1在???,???上连续，求常数a,b的值. x?1x?00?x?1，讨论f?x?的间断点及其类型. 1?x?2?x2?1,?例3设函数f?x???x,?2?x,?例4求下列函数的间断点并说明间断点类型

1?x?1?x2x2?1（1）f?x??2.（2）f?x??.

2xx?3x?2例5证明方程4x?2在?0,?内至少有一个实根.

x例6设f?x??e?2，求证f?x?在?0,2?内至少有一个点x0，使e0?2?x0.

xx??1?2?第二章一元函数微分学

一、导数与微分

2 / 15

例1设y?f?x?在x0处可导，则limh?0f?x0?2h??f?x0?? ; h?x?0limf?x0??x??f?x0??x?? . ?x例2求下列函数的导数

（1）y?1?lnx.（2）y?arctane.（3）y?sin2x?sec2（5）y?f?x????x???，其中f?u?及??x?均可导.

2x32?e?.（4）y?2x2?1lnxx.

?n?n???flnx??fx?afx?a（6）已知f?u?可导，求????、????和??????.