闭环实负零点对二阶系统的影响
作者 jiangteng 班级 09电本2班 学号4090208230
摘 要：本文采用拉普拉斯变换的方法，首先研究了二阶系统在单位阶跃输入下的响应，并对二阶系统的传递函数及其动态性能指标进行了详细的讨论。然后重点研究了闭环零点对二阶系统的传递函数及其在单位阶跃响应的动态性能指标的影响，并得出了相应的结论。 关键字：闭环零点 二阶系统 欠阻尼
0 引言
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统形式简单而且应用广泛，同时，高阶系统的研究也往往通过选取主导极点将系统简单化为二阶系统。二阶系统有两种结构形式，一种是无零点二阶系统，一种是有零点二阶系统。对二阶系统的研究，主要是研究单位阶跃响应和动态性能指标。在阻尼比??0时，系统不能正常工作，而在??1时，系统动态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况下（0???1）时是最有实际意义的。下面将讨论这种情况下两种结构形式的二阶系统。
1. 典型二阶系统的传递函数和状态方程
1.1 二阶系统传递函数的标准形式
2?n开环传递函数：WK?s??
s?s?2??n?2?n闭环循环传递函数：WB?s??2 2s?2??ns??n二阶系统标准形式的结构图如下图1-1所示：
图 1-1 二阶系统标准形式的结构图
1.2 二阶系统的单位阶跃响应及其动态响应
假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，
1Xr?s??
s输出量的拉氏变换为
2?n1 Xc?s??2 ⑴ ?2?s?2??ns??n?s系统的特征方程为
2s2?2??ns??n?0
由上式可解除特征方程式的根，这些根与阻尼比ξ有关。这里只讨论欠阻尼的情况。
当0<ξ<1时，特征方程式的根为 ?p1????j1??2?n ?p22n???????j1????
由于0<ξ<1，故?p1及?p2为一对共轭复根，如图1-2所示。
图 1-2 0<ξ<1时根的分布
将式①分解为部分分式，并求出各待定系数： Xc?s??A0A1s?A2 ?22ss?2??ns??n11??2查拉氏变换表得输出量为 xc?t??1?e???ntsin(?d??) t≥0 ⑵
式中：?d?1??2?n──阻尼振荡角频率，或振荡角频率； ??arctan1??2? ──阻尼角。
典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图：
1.51y0.50012345t678910
图 1-3 单位阶跃响应
1.3 二阶系统动态性能指标 1.3.1 上升时间tr
在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间tr。根据这一定
义，在②中，令t?tr时，xc?1，得
e???ntr1??2sin(?d??)?0 ⑶
e???ntr1??2但是，在t??期间，也就是没有达到最后的稳定以前，满足式③只能使sin(?dtr??)?0。由此得
?0，所以为
?dtr?????????? ⑷ tr???d?n1??2由上式可以看出ξ和wn对上升时间的影响。当wn一定时，阻尼比ξ越大，则上升时间tr越长；当ξ一定时，wn越大，则上升时间tr越短。 1.3.2 最大超调量δ%
最大超调量发生在第一个周期中t?tm时刻。根据求极值的方法，由式⑵，可求出
dxc?t?dtt?tm?0
得
1??2sin(?dtm??)??cos(?dtm??)tan(?dtm??)?1??2
?因此
?dtm???n??arctan即
?dtm?n?
因为在n=1时出现最大超调量，所以有?dtm??。峰值时间为 tm?1??2??n???
??? ⑸
2?d1???n将tm????代入式②，整理得到最大值为
2?d1???n??? xcm?1?因为
e1??221??sin(???)
sin(???)??sin???1??2 所以
??? xcm?1?e根据超调量的定义
1??2 ⑹
?%?Xcm?Xc????100%
Xc??? 在单位阶跃输入下，稳态值xcm(?)?1，因此得最大超调量为
???1??2 ?%?e1.3.3 调节时间ts
?100% ⑺
调节时间ts是xc(t)与稳态值xc(?)之间的偏差量达到允许范围（一般取稳态
值的?2%～?5%）而不再超出的稳态过程时间。在动态过程中的偏差量为
△x?xc(?)?xc(t)?当△x=0.05或0.02时得
e???nts1??2sin(1??2?nts??)?0.05（或0.02）
e???nt1??2sin(1??2?nt??)
由上式可以看出，在0～ts时刻范围内，满足上述条件的ts值有多个，其中最大的值就是调节时间ts。由于正弦函数的存在，ts值与阻尼比ξ间的函数关系是不连续的。为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到 由此求得调节时间为 ts(5%)?13[3?ln(1??2)]? ，0<ξ<0.9 ⑻ ??n2??n14[4?ln(1??2)]? ，0<ξ<0.9 ⑼ ??n2??n11e???nts1??2?0.05
ts(2%)?2 具有闭环负实零点的二阶系统的动态性能的影响
2.1 具有零点的二阶系统标准形式及其结构图
具有零点的二阶系统的闭环传递函数为
w(τs?1)Xc(s) ?2?21Xr(s)s?22ξwns?wn(s2?2ξwns?wn)τ 式中：τ──时间常数
1 令=z，则上式可写为如下标准形式：
τ WB(s)?2n12wn(s?)τ
2wn(s?z)Xc(s) ⑽ ?22Xr(s)z(s?2ξwns?wn) 式⑩所示系统的闭环传递函数为具有零点-z 的二阶系统,其结构图如下
所示
Xr(s)
2wn(s?z)z(s2?2ξwns?wn)2 Xc(s) 图 2-1 具有零点的二阶系统结构图
闭环实负零点对二阶系统的影响
