则NE＝ON?sin1°?3x， 2∴S△OMN?113?OM?NE??1.5x?x，
222∴y?332
x， 8∴x?883时，y有最大值，最大值?． 33②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
83
作MH⊥OB于H．
则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM?sin1°?3（8﹣1.5x）， 2∴y?1332?ON×MH??x+23x． 28883时，y取最大值，y＜， 33当x?③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，
作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝23， ∴y?153?MN?OG＝123?x， 22当x＝4时，y有最大值，最大值＝23．
综上所述：y有最大值，最大值为【点睛】
83． 3本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 21．（1）50,108°，补图见解析；（2）9.6；（3）【解析】 【分析】
（1）根据A景点的人数以及百分表进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；先求得A景点所对应360°的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据E景点接待游客数所占的百分比，即可估计2024年“五?一”节选择去E景点旅游的人数； （3）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率． 【详解】
30%=50（万人）解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷， A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°=108°， B景点接待游客数为：50×24%=12（万人）， 补全条形统计图如下：
1． 3
（2）∵E景点接待游客数所占的百分比为：
6×100%=12%， 50∴2024年“五?一”节选择去E景点旅游的人数约为：80×12%=9.6（万人）； （3）画树状图可得：
∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种， ∴同时选择去同一个景点的概率=【点睛】
本题考查列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 22．B、C两地的距离大约是6千米． 【解析】 【分析】
过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长． 【详解】
解：过B作BD?AC于点D．
在RtVABD中，BD?AB?sin?BAD?4?0.8?3.2(千米)，
31?． 93QVBCD中，?CBD?90o?35o?55o，
?CD?BD?tan?CBD?4.48(千米)， ?BC?CD?sin?CBD?6(千米)．
答：B、C两地的距离大约是6千米．
【点睛】
此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解． 23．135° 【解析】 试题分析：
（1）由已知条件证△ABD≌△AEC，即可得到∠BDA=∠CEA；
2m+n
（2）过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，由已知条件易得∠EBG=60°，BE=2，这样在Rt△BEG中可得EG=3，BG=1，结合BC=n=3，可得GC=4，由长可得EC=19，结合△ABD≌△AEC可得BD=EC=19；
（3）由（2）可知，BE=2m，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=2m?n，此时BD最大=EC最大=2m?n；
（4）由△ABD≌△AEC可得∠AEC=∠ABD，结合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE2=2AE2，从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2. 试题解析：
（1）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠DAC=90°， ∴AE=AB，AC=AD，∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠BAD， ∴△EAC≌△BAD， ∴∠BDA=∠ECA；
（2）如下图，过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G， ∴∠EGB=90°，
∵在等腰直角△ABE，∠BAE=90°，AB=m=2 ， ∴∠ABE=45°，BE=2， ∵∠ABC=75°，
∴∠EBG=180°-75°-45°=60°， ∴BG=1，EG=3， ∴GC=BG+BC=4，
∴CE=42?(3)2?19， ∵△EAC≌△BAD， ∴BD=EC=19；
（3）由（2）可知，BE=2m，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=2m?n，
∵BD=EC，
∴BD最大=EC最大=2m?n，此时∠ABC=180°-∠ABE=180°-45°=135°， 即当∠ABC=135°时，BD最大=2m?n； （4）∵△ABD≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABD，
∵在等腰直角△ABE中，∠AEC+∠CEB+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE+∠CEB=90°， ∴∠BFE=180°-90°=90°， ∴EF2+BF2=BE2，
又∵在等腰Rt△ABE中，BE2=2AE2， ∴2AE2=EF2+BF2.
点睛：(1)解本题第2小题的关键是过点E作EG⊥CB的延长线于点G，即可由已知条件求得BE的长，进一步求得BG和EG的长就可在Rt△EGC中求得EC的长了，结合（1）中所证的全等三角形即可得到BD的长了；（2）解第3小题时，由题意易知，当AB和BC的值确定后，BE的值就确定了，则由题意易得当E、B、C三点共线时，EC=EB+BC=2m?n是EC的最大值了. 24．（1）证明见解析；（2）AC的长为【解析】 【分析】
（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论． 【详解】
（1）如图，连接BD，
165． 5
∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠DEC+∠CDE=90°．
山东省泰安市2024-2024学年中考第一次质量检测数学试题含解析
