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第八章总结
向量代数定义向量向量a的模记作a????有大小、有方向.记作a或AB定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示a?axi?ayj?azk?(ax,ay,az)???ax?prjxa,ay?prjya,az?prjzaa?ax2?ay2?az2c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz?模和差c?a?bc?a－b单位向量a?0，则ea?aaea?(ax,ay,az)ax2?ay2?az2设a与x,y,z轴的夹角分别为?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos?方向余弦aaacos???x，cos???y，cos???zaaaea?(cos?，cos?，cos?)cos2?+cos2??cos2??1a?b?abcos?，?为向量a与b的夹角点乘（数量积）叉乘（向量积）c?absin?a?b?axbx?ayby?azbzc?a?b?为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直定理与公式ia?b?axbxjaybykazbz垂直平行a?b?a?b?0a//b?a?b?0a?baba?b?axbx?ayby?azbz?0a//b?cos??axayaz??bxbybz交角余弦两向量夹角余弦cos??axbx?ayby?azbzax2?ay2?az2?bx2?by2?bz2prjba?axbx?ayby?azbzbx2?by2?bz2向量a在非零向量b上的投影投影a?bprjba?acos(ab)?b?沈阳师范大学杨老师
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平面法向量n?{A,B,C}方程名称点M0(x0,y0,z0)直线方向向量T?{m,n,p}方程名称点M0(x0,y0,z0)方程形式及特征方程形式及特征?A1x?B1y?C1z?D1?0??A2x?B2y?C2z?D2?0Ax?By?Cz?D?0一般式一般式A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0点法式点向式x?x0y?y0z?z0??mnp?x?x0?mt??y?y0?nt?z?z?pt0?三点式x?x1x2?x1x3?x1y?y1z?z1y2?y1z2?z1?0y3?y1z3?z1参数式截距式xyz???1abcA1A2?B1B2?C1C2?0A1B1C1??A2B2C2ABC??mnp点面距离两点式x?x0y?y0z?z0??x1?x0y1?y0z1?z0m1m2?n1n2?p1p2?0m1n1p??1m2n2p2Am?Bn?Cp?0面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行面面距离M0(x0,y0,z0)d?Ax?By?Cz?D?0A2?B2?C2Ax?By?Cz?D1?0d?线线夹角Ax?By?Cz?D2?0D1?D2Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2线面夹角??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2}cos??|AA12?BB12?CC12|222222A1?B1?C1?A2?B2?C2面面夹角s1?{m1,n1,p1}s2?{m2,n2,p2}s?{m,n,p}sin?n?{A,B,C}cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2?Am?Bn?CpA2?B2?C2?m2?n2?p2沈阳师范大学杨老师
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空间曲线?：
?x??(t)，?
?y??(t)，
?z??(t)，?
(??t??)
切向量
?
T?(??(t0),??(t0),??(t0))
切“线”方程：
x?x0y?y0z?z0
?????(t0)?(t0)??(t0)
法平“面”方程：
??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0
?y??(x)
?
?z??(x)
切向量
?
T?(1,??(x),??(x))
切“线”方程：
x?x0y?y0z?z0
??1??(x0)??(x0)
法平“面”方程：
(x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0
空
间曲面
F(x,y,z)?0法向量
?
n?(Fx(x0,y0,z0),
切平“面”方程：
Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fx(x0,y0,z0)(y?y0)?Fx(x0,y0,z0)(z?z0)?0
法“线“方程：
?：
x?x0y?y0z?z0
??
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
z?f(x,y)
?n?(?fx(x0,y0),
?fy(x0,y0),1)
或
切平“面”方程：
fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0
?
n?(fx(x0,y0),
fy(x0,y0),?1)
法“线“方程：
x?x0y?y0z?z0
??
fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1
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第十章总结
重积分
积分类型
（1）利用直角坐标系计算方法
典型例题
?2(x)
X—型Y—型
二重积分
??f(x,y)dxdy??dx?
Dab?1(x)
f(x,y)dyP141—例1、例3
??f(x,y)dxdy??
Ddcdy?
?2(y)
?1(y)
f(x,y)dxI???f?x,y?d?D（2）利用极坐标系使用原则
平面薄片的质量
质量=面密度?
面积
(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x?y),?为实数)
2
2???
Df(?cos?,?sin?)?d?d???2(?)?1(?)
P147—例5
??d??
?f(?cos?,?sin?)?d?0???2?0????????2?（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）
?
?0???
I??2??f(x,y)dxdy?D1????
f(x,y)对于x是奇函数，
即f(?x,y)??f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，即f(?x,y)?f(x,y)
P141—例2
应用该性质更方便
D1是D的右半部分
计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性
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(1)利用直角坐标?
?投影法?截面法
by2(x)
ay1(x)
投影
???f(x,y,z)dV??dx?
?dy?
z2(x,y)
z1(x,y)
f(x,y,z)dzP159—例1P160—例2
三重积分（2）利用柱面坐标I?
???f(x,y,z)dv?
?x?rcos??
?y?rsin??z?z?
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标:适用范围:适用范围
P161—例3
1○积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体
空间立体物的
质量
质量=密度?面积
2○被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(x?y)f(x?z)
2222
???f(x,y,z)dV??dz?
?
b?a?d??
r2(?)
r1(?)
f(?cos?,?sin?,z)?d?（3）利用球面坐标?x??cos??rsin?cos??
?y??sin??rsin?sin??z?rcos??
dv?r2sin?drd?d?适用范围:
1○积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，f(x?y?z)○
2
2
2
P165—10-(1)
I??d??d??
?1
?1
?2?2?2(?,?)
?1(?,?)
f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?2sin?d?（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性沈阳师范大学杨老师
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