解：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|?3. 由距离公式|AB|＝(x1-x2)?(y1?y2)?1? 则有(y1?y2)2?9.
2221|y1?y2|?2|y1?y2| 2kp??x?y??1? 由?2，消去x，得y2?2py?p2?0
?y2?2p(x?1)? ??(2p)2?4p2?0.?y1?y2??2p,y1y2??p2.
从而(y1?y2)2?(y1?y2)2?4y1y2 即(?2p)2?4p2?9 2 由于p>0， 解得p?3 42的椭圆C相交于A、B两点， 2 例4. 过点(1， 0)的直线l与中心在原点， 焦点在x轴上且离心率为直线y=
1x过线段AB的中点， 同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称， 试求直线l与椭圆C2的方程.
c2a2?b21解法一：由e=?,得?,从而a2=2b2,c=b.
2a2a2设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得， (x12－x22)+2(y12－y22)=0,
y1?y2x?x2??1.
x1?x22(y1?y2)设AB中点为(x0,y0),则kAB=－
x0, 2y0Byy=12x11又(x0,y0)在直线y=x上， y0=x0,
22于是－
x0=－1,kAB=－1, 2y0F2oF1Ax设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′), ?y??1??x??1?x??b则? 解得?
???y?1?byx?b?????1?2?2由点(1,1－b)在椭圆上， 得1+2(1－b)2=2b2,b2=
929,a?. 168６
∴所求椭圆C的方程为8x29?1629y =1,l的方程为y=－x+1.
解法二：由e=c2a?2,得a2?b21a2?2,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程， 得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0, 则x1+x2=
4k21?2k2,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－
2k1?2k2.
直线l：y=1x1?x2y1?y2?k122x过AB的中点(2,2),则k21?2k2?2?1?2k2, 解得k=0， 或k=－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身， 不能在椭圆C上，舍去， 从而k=－1， 直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一. 22解法3：设椭圆方程为
xa2?yb2?1(a?b?0)(1)
直线l不平行于y轴， 否则AB中点在x轴上与直线y?12x过AB中点矛盾。 故可设直线l的方程为y?k(x?1)(2)
(2)代入(1)消y整理得：(k2a2?b2)x2?2k2a2x?a2k2?a2b2?0(3) 设A(x1，y1)B(x2，y2)， 知：x1?xk2a22?2k2a2?b2
又y1?y2?k(x1?x2)?2k代入上式得： k?2k1k2a2?b2x?， ?k?2k??1， ?k?b21， 2 1?x222k2a22k?ka2?2又e?2?k??2b2a2?c2)a2??2(a2??2?2e2??1， ?直线l的方程为y?1?x，
此时a2?2b2， 方程(3)化为3x2?4x?2?2b2?0， ??16?24(1?b2)?8(3b2?1)?0
?b?33， 椭圆C的方程可写成：x2?2y2?2b2(4)， 又c2?a2?b2?b2， ?右焦点F(b，0)， 设点F关于直线l的对称点(x0，y0)，
??y0则??x0?b?1??yx?bx0?1，y0?1?b， ?0?1?0?22又点(1，1?b)在椭圆上，代入(4)得：1?2(1?b)?2b2， ?b?334?3， ?b2?9， a2916?8
所以k=0７
x2y2所以所求的椭圆方程为：??1
99816
例5. 如图， 已知△P1OP2的面积为线且过点P的离心率为
27， P为线段P1P2的一个三等分点， 求以直线OP1、OP2为渐近413的双曲线方程. 2解：以O为原点， ∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设双曲线方程为由e2=
c2x2a2?y2b2=1(a＞0,b＞0)
yP2b2132b3， 得?1?()?()?.
a2a2a233x和y=－x 22oP1Px∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=设点P1(x1,
33x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0), 22P1P则由点P分P所成的比λ==2, P12PP2得P点坐标为(
x1?2x2x1?2x2,), 32又点P在双曲线所以
(x1?2x2)29a2x2a?2?4y29a2=1上， =1,
(x1?2x2)29a2即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ① 92139x1?x1,|OP|?x22?x22?42432?2tanP1Ox2?12sinP1OP2??1?tan2P1Ox1?9134111312?S?P1OP2?|OP1|?|OP2|?sinP1OP2??x1x2??22413又|OP1|?x12?13x22 27,4即x1x2=
9 2②
由①、②得a2=4,b2=9 x2y2故双曲线方程为=1. ?49例6. 已知点B（－1， 0）， C（1， 0）， P是平面上一动点， 且满足|PC|?|BC|?PB?CB.
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m,2）在曲线C上， 过点A作曲线C的两条弦AD和AE， 且AD⊥AE， 判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.
（3）已知点A（m,2）在曲线C上， 过点A作曲线C的两条弦AD， AE， 且AD， AE的斜率k1、k2满足
８
k1·k2=2.求证：直线DE过定点， 并求出这个定点.
解：（1）设P(x,y)代入|PC|?|BC|?PB?CB得(x?1)2?y2?1?x,化简得y2?4x. (2)将A(m,2)代入y2?4x得m?1,?点A的坐标为(1,2).设直线AD的方程为y?2?k(x?1)代入y2?4x,得y2?4ky?8k?4?0,由y41?2可得y2?k?2,?D(44k2?1,k?2).同理可设直线AE:y?2??1(x?1),代入y2k?4x得E(4k2?1,?4k?2).
4?4k则直线DE方程为:y?4k?2?k4(x?4k2?1),化简得k2?4kk2(y?2)?k(x?5)?(y?2)?0,即y?2??kk2?1(x?5),过定点(5,?2).(3)将A(m,2)代入y2?4x得m?1,设直线DE的方程为y?kx?b,D(x1,y1),E(x1,y1)由???y?kx?b2 ?24x得kx2?2(kb?2)x?b2?0,?y??k?2,?y1?2x?yAD?kAE2?2x?2(x1,x2?1),1?12?1且y1?kx1?b,y2?kx2?b?(k2?2)x1x2?(kb?2k?2)(x1?x2)?(b?2)2?2?0,将x1?x2(kb?2)2??k2,x1x2?b2k2代入化简得b2?(k?2)2,?b??(k?2).?b??(k?2).
将b?k?2代入y?kx?b得y?kx?k?2?k(x?1)?2,过定点(?1,?2).将b?2?k代入y?kx?b得y?kx?2?k?k(x?1)?2,过定点(1,2),不合,舍去,?定点为(?1,?2)
【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题
1. ?是任意实数， 则方程x2?y2sin??4所表示的曲线不可能是（ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
2. 已知椭x2(y?t)212?21?1的一条准线方程是y?8， 则实数t的值是（ A. 7或－7
B. 4或12 C. 1或15 D. 0
）） ９
x2y2??1的离心率e?(1,2)， 则k的取值范围为（ ） 3. 双曲线4k A. (??,0) B. （－12， 0） C. （－3， 0） D. （－60， －12）
x2y2??1的焦点为顶点， 顶点为焦点的椭圆方程为（ ） 4. 以
412x2y2??1 A.
1612x2y2??1 C.
1642
x2y2??1 B.
1216x2y2??1 D.
416
5. 抛物线y?8mx的焦点坐标为（ ） A. (1,0) 8mB. (0,1 ) 32m2
C. (0,?1) 32m2D. (?1,0) 32m 6. 已知点A（－2， 1）， y??4x的焦点为F， P是y??4x的点， 为使PA?PF取得最小值，
P点的坐标是（ ）
11 A. (?,1) B. (?2,22) C. (?,?1) D. (?2,?22)
44 7. 已知双曲线的渐近线方程为3x?4y?0， 一条准线方程为5y?9?0， 则双曲线方程为（ ）
y2x2??1 A.
916y2x2??1 C.
9252
x2y2??1 B.
916x2y2??1 D.
925
8. 抛物线y?x到直线2x?y?4距离最近的点的坐标为（ ） A. (,)
3524B. (1,1)
2
C. (,)
3924D. (2,4)
9. 动圆的圆心在抛物线y?8x上， 且动圆与直线x?2?0相切， 则动圆必过定点（ ） A. （4， 0） B. （2， 0） C. （0， 2） D. （0， －2）
10．中心在原点， 焦点在坐标为(0， ±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为则椭圆方程为( )
2x22y22x22y2A.??1 B.??125757525C.yyxx??1 D.??12575752522221， 2
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高考文科数学圆锥曲线专题复习
