高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 yy 图 象 OxOx 平面内到两定点F1,F2的距离的和为平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝 常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭 对值为常数（小于F1F2）的动点的轨 圆即MF1?MF2?2a 定 义 当2a﹥2c时， 轨迹是椭圆， 迹叫双曲线即MF1?MF2?2a 当2a＝2c时， 轨迹是一条线段当2a﹤2c时， 轨迹是双曲线 F当2a＝2c时， 轨迹是两条射线 1F2 当2a﹥2c时， 轨迹不存在 当2a﹤2c时， 轨迹不存在 x2轴上时： y2焦点在xa2?b2?1 轴上时：x2y2焦点在x标准a2?b2?1 方 程 焦点在y轴上时：y2x2a2?b2?1 焦点在y轴上时：y2x22?2?1 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一ab坐标轴上 常数a,b,c a2?c2?b2， a?b?0， c2?a2?b2， c?a?0 的关 a最大， c?b,c?b,c?b c最大， 可以a?b,a?b,a?b 系 渐近焦点在x轴上时：xa?y线 b?0 焦点在y轴上时：ya?xb?0
抛物线：
１
yy图形 lOFxFOx l 方y2??2px(p?0)2y?2px(p?0) 程 x2?2py(p?0) x2??2py(p?0) p焦(,0) 点 2p准x?? 线 2
（一）椭圆
(?p,0) 2px? 2p(0,) 2py?? 2p(0,?) 2py? 2x2y2 1. 椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)
ab （1）范围：?a?x?a，-b?x?a， 椭圆落在x??a，y??b组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y轴对称。 图象关于x轴对称。 图象关于原点对称。 原点叫椭圆的对称
中心， 简称中心。 x轴、y轴叫椭圆的对称轴。 从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：A(?a,0),A2(a,0)， B(0,?b),B2(0,b)。 加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。 A1A2叫椭圆的长轴， B1B2叫椭圆的短轴。 长分别为2a,2b。 a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。 e?bc?e?1?()2。 0?e?1。 aa椭圆形状与e的关系：e?0,c?0， 椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例。 e?1,c?a,椭圆变扁， 直至成为极限位置线段F1F2， 此时也可认为是椭圆在e?1时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e， 那么这个点的轨迹叫做椭圆。 其中定点叫做焦点， 定直线叫做准线， 常数e就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的， 它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程
x2y2a2a2 对于2?2?1， 左准线l1:x??；右准线l2:x?
ccab ２
y2x2a2a2对于2?2?1， 下准线l1:y??；上准线l2:y?
ccaba2a2?c2b2?c??焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc
（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性
x2y2由标准方程2?2?1， 从横的方向来看， 直线x＝－a,x＝a之间没有图象， 从纵的方向来看， 随
ab着x的增大， y的绝对值也无限增大， 所以曲线在纵方向上可无限伸展， 不像椭圆那样是封闭曲线。 双
曲线不封闭， 但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点
顶点：A1(a,0),A2??a,0?， 特殊点：B1(0,b),B2?0,?b?
实轴：A1A2长为2a,a叫做实半轴长。 虚轴：B1B2长为2b， b叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点， 而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异。 （3）渐近线
x2y2bxy 过双曲线2?2?1的渐近线y??x（??0）
abaab （4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e?2cc?， 叫做双曲线的离心率 范围：e>1 2aabc2?a2c22 双曲线形状与e的关系：k????1?e?1， e越大， 即渐近线的斜率的绝2aaa对值就越大， 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。 由此可知， 双曲线的离心率越大， 它的开
口就越阔。 2. 等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e? 3. 共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y??222。
bkbx??x(k?0)， 那么此双曲线方程就一定是：
kaaxyx2y2???。 ???1(k?0)或写成2222(ka)(kb)ab 4. 共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴， 虚轴为实轴， 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。 共用一对渐近线。 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆
３
上。 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c(c?a?0)的点的轨迹是a双曲线。 其中， 定点叫做双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的准线。 常数e是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程：
x2y2a2 对于2?2?1来说， 相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??， 相对于右焦点F2(c,0)caba2对应着右准线l2:x?；
cb2 焦点到准线的距离p?（也叫焦参数）。
cy2x2a2 对于2?2?1来说， 相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相对于上焦点F2(0,c)caba2对应着上准线l2:y?。
c
（三）抛物线的几何性质 （1）范围
因为p＞0， 由方程y?2px?p?0?可知， 这条抛物线上的点M的坐标（x， y）满足不等式x≥0，
2所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时， |y|也增大， 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性
以－y代y， 方程y2?2px?p?0?不变， 所以这条抛物线关于x轴对称， 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 （3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2?2px?p?0?中， 当y＝0时， x＝0， 因此抛物线y2?2px?p?0?的顶点就是坐标原点。
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比， 叫做抛物线的离心率， 用e表示。 由抛物线的定义可知， e＝1。
【典型例题】
例1. 根据下列条件， 写出椭圆方程 （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点， 且经过点（2， －3）；
（3）中心在原点， 焦点在x轴上， 从一个焦点看短轴两端的视角为直角， 焦点到长轴上较近顶点
４
的距离是10－5。
分析：求椭圆的标准方程， 首先要根据焦点位置确定方程形式， 其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。 解：（1）焦点位置可在x轴上， 也可在y轴上
x2y2y2x2??1或??1 因此有两解：
16121612y2x2 （2）焦点位置确定， 且为（0， ?5）， 设原方程为2?2?1,（a>b>0）， 由已知条件有
ab?a2?b2?5y2x2?22?a?15,b?10， 故方程为??1。 ?941510?2?2?1b?ax2y2 （3）设椭圆方程为2?2?1,（a>b>0）
ab 由题设条件有??b?c?a?c?10?5及a2＝b2＋c2， 解得b＝5,a?10
x2y2??1。 故所求椭圆的方程是105
例2. 直线y?kx?1与双曲线3x?y?1相交于A、B两点， 当a为何值时， A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时， A、B分别在双曲线的两支上？ 解：把y?kx?1代入3x?y?1
整理得：(3?a)x?2ax?2?0……（1） 当a??3时， ??24?4a2
由?>0得?6?a?6且a??3时， 方程组有两解， 直线与双曲线有两个交点 222222若A、B在双曲线的同一支， 须x1x2? 故当?6?a??3或3?a?在双曲线的两支上。
2>0， 所以a??3或a?3。 2a?36时， A、B两点在同一支上；当?3?a?3时， A、B两点
例3. 已知抛物线方程为y?2p(x?1)（p>0）， 直线l:x?y?m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3， 求p的值。
５
2
高考文科数学圆锥曲线专题复习
