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第十章 应力状态、强度理论与组合变形
在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。
§10.1 应力状态
10.1.1 平面应力状态的一般分析
若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体
微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。 在垂直于x轴的左右二平面上作用有
y 正应力?x和剪应力?xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力?y 和剪应力?yx。且由剪应力互等定理可知必有?xy=?yx=?。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为?。
?y ?xy ?x ?yx ?yx ?x ?xy ?y x y ?xy ?x a ?? ? ?? b n x ? o ?yx ?y 图10.1 平面应力状态分析
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单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为?x和?xy，沿x、y方向的内力分别为??x?abcos?和?xy?abcos?；截面ob上作用的应力为?y 和?yx，沿x、y方向的内力分别为?yx?absin?和??y?absin?；设斜截面ab上的应力为?n 和?n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为?n?ab和?n?ab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：?
?Fx=?n?abcos????n? ab?sin???x? abcos???yx? absin??? ?Fy=?n?absin???n?abcos???y?absin???xy?abcos???
注意到?yx=?xy，解得：?
?n=?xcos2???ysin2????xysin?cos? ?n???x???y)sin?cos???xy(cos2? -sin2??
利用三角关系? cos2?????cos2????，sin2?????cos2????，sin2???sin?cos?，由上述结果可以得到平面应力状态下斜截面上应力的一般公式为：?
?n??n??x??y2??x??y2cos2???xysin2?---（10-1） ---（10-2）
?x??y2sin2???xycos2?斜截面上的应力是?角的函数，?角是x轴与斜截面外法向n的夹角，从x轴到n轴逆时针转动时?为正。?
10.1.2 极限应力与主应力
现在讨论?角变化时，斜截面上法向正应力的极值。 令d?n/d?=0，由(10-1)式可得：
解得：
?x??y2sin2???xycos2??0---（10-3）
tg2??tg2?0??2?xy?x??y 266
---（10-4）
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即在?=?0的斜截面上，?n取得极值。
再利用三角函数变换关系，当tg?=x时，有sin?=?x/(1+ x 2)1/2，cos?=?1/(1+ x 2)1/2，将(10-4)式代入(10-1)式，可以得到在?=?0的斜截面上正应力?n的极值为： ?max?
???min??x??y2?(?x??y22)2??xy---（10-5）
由(10-4)式可知，?n取得极值的角?0有两个，二者相差90?。即最大正应力?max和最小正应力?min分别作用在两个相互垂直的截面上。注意到当?=?0，?n取得极值时，比较(10-3)与(10-2)式可知，该斜截面上的剪应力?n=0，即正应力取得极值的截面上剪应力为零。
剪应力为零的平面，称为主平面，主平面上只有法向正应力，此正应力称为主应力，主应力是极值应力。在平面应力状态下，(10-5)式给出的就是平行于z轴的?=?0之截面的主应力。?
再讨论平面应力状态下斜截面上剪应力的极值。?令d?n/d?=0，由(10-2)式可得： ??????????????????????????x-??y?cos2?-2?xysin2? =0 解得：
tg2??tg2?1??x??y2?xy---（10-6）
即在?=?1的斜截面上，剪应力?n取得极值。类似如前，利用三角函数变换关系，将(10-6)式代入(10-2)式，同样可以得到斜截面上剪应力?n的极值为：
?x??y2?max?2??()??xy??min?2---（10-7）
由(10-6)式可知，?n取得极值的角?1也有两个，二者相差90?。即两个正交的截面，若其中一个面上有最大剪应力?max，则在与其正交的另一截面上作用着最小剪应力?min。?max与?min二者大小相等，符号相反，分别作用在两个相互垂直的截面上，这一结论与剪应力互等定理也是一致的。
更进一步，由（10-4）和（10-6）式可知：
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tg2?1??1tg2?0上式表明?0与?1间有下述关系：
2??=2??+?/2 或 ??=??+?/4 可见，剪应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为45?。
综上所述可知，剪应力为零的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，主平面相互垂直，其大小和方位由?10-5)及?10-4)式给出。在与主平面夹角为45?的平面上，剪应力取得极值。?
在图10.1所示之六面体微元中，垂直于z轴的前后两面上无剪应力作用，因此也是主平面，且该平面上的主应力为?z=0。
可以用主应力描述一点的应力状态。按主应力代数值的大小排列，分别记作?1、?2、?3
。若三个主应力均不为零，是最一般的三向应力状态；若三个主应力中有二个不为零，则是二向应力状态或称平面应力状态；若三个主应力中只有一个不为零，则称单向（或单轴）应力状态，如图10.2所示。例如，轴向拉压时，各点的应力状态为单向应力状态；薄壁压力容器中，各点的应力状态为二向应力状态；流体中任一点受压，为三向应力状态等等。
?2 ?1 ?3 ?2 （a）三向应力状态
?2 ?3 ?1 ?1 ?3=0 ?1 ?1 ?2=?3=0
?1 ?2 （b）二向应力状态
（c）单向应力状态
图10.2 用主应力表示应力状态
例10.1 某点的应力状态如图10.3所示，已知 ?x=30MPa，?y=10MPa，?xy=20MPa。
试求1）主应力及主平面方向；2）最大、最小剪应力。
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y ?y ?yx ?x ?x ?xy ?y (a)
x y ?1 ?3 ?0=58.28? ??? ?max x y ??max ?? x ?1=13.28?
?? ??max (c)
?3 (b)
?1
?max ??? 图10.3 例10.1图
解：1）主应力与主方向
主应力由（10-5）式给出，有：
?max?30?10?42.36MPa30?1022?[?()?20]MPa????min?22??2.36MPa 主方向角由（10-4）式确定，有：
tg2?0??2?20??230?10 解得： 2?0= -63.43?， ?0= -31.72?。
故二个主平面外法向与x轴的夹角为58.28?和148.28?。 在?0= 58.28?的主平面上，由（10-1）式有：
?n?[30?1030?10?cos116.56??20?sin116.56?]MPa??2.36MPa??min22 可见，在?0=58.28?的主平面上，主应力是?min；在?=148.28?的主平面上，主应力是?max；在垂直于z轴的前后二面上无剪应力，也是主平面，且?=0。三个主应力按代数值的大小排列，有??=42.36MPa；??=0；??=?2.36MPa。用主应力表示的应力状态如图10.3(b)所示。 2）最大、最小剪应力
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第十章应力状态、强度理论与组合变形_工程力学
