§1.2 命题及其关系、充分条件
与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 考情考向分析 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件
知识拓展
从集合的角度理解充分条件与必要条件
p?q且q?p p?q且q?p p?q p?q且q?p 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为： (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A(5)若A(6)若AB，则p是q的充分不必要条件； B，则p是q的必要不充分条件；
B且A?B，则p是q的既不充分又不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题．( √ )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × ) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ ) (5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √ )
题组二 教材改编
2．下列命题是真命题的是( ) A．矩形的对角线相等 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若整数a是素数，则a是奇数 D．命题“若x＞0，则x＞1”的逆否命题 答案 A
3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠
4．命题“若x>y，则x>y”的逆否命题是( ) A．若x
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x>y，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x≤y”．
5．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 答案 C
解析 x＞y?x＞|y|(如x＝1，y＝－2)， 但当x＞|y|时，能有x＞y.
∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．
6．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，2]
解析 由已知，可得{x|2＜x＜3}
{x|x＞a}，∴a≤2.
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题型一 命题及其关系
1．下列命题是真命题的是( ) 11
A．若＝，则x＝y
xy
2019届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件学案文北师大版
