5-8-1.进制的计算
教学目标
1. 2. 3. 4. 5.
了解进制；
会将十进制数转换成多进制； 会将多进制转换成十进制； 会多进制的混合计算； 能够判断进制.
知识点拨
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。 3.k进制：
一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，共k个数码组成，且“逢k（k?1）进一”．（进位制计数单位是k0，k1，k2，．如二进位制的计数单位是20，21，22，kk?1），八进位制的计数单位是80，81，82，． 4.k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
nn?1（anan?1a1a0）??a1?k?a0 k?an?k?an?1?k十进制表示形式：N?an10n?an?110n?1??a0100； 二进制表示形式：N?an2n?an?12n?1??a020；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k，表示是k进位制的数
（352）（1010）（3145）如：8，2，12,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5.k进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
如右图所示:
八进制 十进制 二进制 十六进
例题精讲
模块一、十进制化成多进制
【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来
(9865) (9865)
10?(10011010001001)210?(303430)5 (9865)10?(23211)8
【答案】(9865)10?(10011010001001)2,(9865)10?(303430)5,(9865)10?(23211)8
【巩固】 567?( ）8?( ）5?( ）2；
【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题是进制的直接转化：567?(1067）8?(4232）5?(1000110111）2；
【答案】567?(1067）8?(4232）5?(1000110111）2
模块二、多进制转化成十进制
【例 2】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据二进制与十进制之间的转化方法，
(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。
【答案】26.75
【例 3】 同学们请将(11010101)2,(4203)5,(7236)8化为十进制数，看谁算的又快又准。 【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答
(11010101)2?1?27?1?26?0?25?1?24?0?23?1?22?0?21?1?20 【解析】
?128?64?16?4?1?213
(4203)5?4?53?2?52?0?51?3?50?500?50?3?553
(7236)8?7?83?2?82?3?81?6?80?3584?128?24?6?3742 【答案】213,553,3742
模块三、多进制转化成多进制
【例 4】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表： 1 2 3 4 5 6 7 八进制数 0 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111 从后往前取三合一进行求解，可以得知?10101011110011010101101?2??25363255?8 【答案】?25363255?8
【例 5】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代表10、B代表11、
C代表12、D代表13……。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。
【答案】E9.B
【例 6】 某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几?
【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边
为12，用位值原理将其化为1×31+2×30=5，所以化为9进制数后第一位为5.
【答案】5
模块四、多进制混合计算
【例 7】 ① (101)2?(1011)2?(11011)2?________；
）））② (110001112?(101012?(112?( ）2；
③(63121)8?(1247)8?(16034)8?(26531)8?(1744)8?________；
【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应
的进制： (101)2?(1011)2?(11011)2?(5)10?(11)10?(27)10?(28)10?(11100)10； ② 可转化成十进制来计算： (11000111））））2?(101012?(112?(199)10?(21)10?(3)10?(192)10?(110000002；
如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对(10101））2?(112进行除法计算，只是每
））））））次借位都是2，可得(110001112?(101012?(112?(110001112?(1112?(110000002；
③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方
法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n． 原式?(63121)8?[(1247)8?(26531)8]?[(16034)8?(1744)8] ?(63121)8?(30000)8?(20000)8?(13121)8；
【答案】(1)、(11100)10，（2）、(11000000）2，（3）、(13121)8
【巩固】 ①在八进制中，1234?456?322?________；
②在九进制中，14438?3123?7120?11770?5766?________．
【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ①原式?1234?(456?322)?1234?1000?234；
②原式?14438?(3123?5766)?(7120?11770)?14438?10000?20000?4438．
【答案】（1）、234，（2）、4438
)10； 【例 8】 计算(3021)4?(605)7?( 【解析】 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：
(3021)4?(605)7?(3?43?2?4?1)10?(6?72?5)10?(500)10
【答案】(500)10
模块五、多进制的判断
【例 9】 若(1030)n?140，则n?________．
【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 若(1030)n?140，则n3?3n?140，经试验可得n?5． 【答案】5
【例 10】 在几进制中有4?13?100？
【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：
由于(4)10?(3)10?(12)10，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．
所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n要比4大，不可能是4，3，2进制．
另外，由于(4)10?(13)10?(52)10，因为52?100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道n?10，那么n不能是12． 所以，n只能是6．
【答案】6
【例 11】 在几进制中有125?125?16324？
【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 注意(125)10?(125)10?(15625)10，因为15625?16324，所以一定是不到10就已经进位，才
能得到16324，所以n?10．
再注意尾数分析，(5)10?(5)10?(25)10，而16324的末位为4，于是25?4?21进到上一位． 所以说进位制n为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．
因为出现了6，所以n只能是7．
【答案】7
【巩固】 算式1534?25?43214是几进制数的乘法？ 【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4?5?20，但是现在为4，说明
进走20?4?16，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2． 因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有
1534?25?38350?43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
【答案】8
终稿-小学奥数教师版-5-6-7-8
