【例 16】 一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位
数是______。
【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第13题，6分 【解析】 设这个两位数是ab，则100a+b=8(10a+b)-1，化为20a+1=7b，方程的数字解只有a=1，
b=3，原来的两位数是13。
【答案】13
【例 17】 已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多
少．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】清华附中 【解析】 设这样的四位数为abcd，则abcd?a?b?c?d?2008，即1001a?101b?11c?2d?2008，
则a?1或2．
⑴若a?2，则101b?11c?2d?6，得b?c?0，d?3，abcd?2003；
⑵若a?1，则101b?11c?2d?1007，由于11c?2d?11?9?2?9?117，所以
101b?1007?117?890，所以b?8，故b为9，11c?2d?1007?909?98，则c为偶数，且11c?98?2?9?80，故c?7，由c为偶数知c?8，d?5，abcd?1985； 所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：2003?1985?3988．
【答案】3988
【巩固】 已知abcd?abc?ab?a?1370,求abcd.
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，
所以a＝1， 则111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，111b＋11c＋d＝259 推知b＝2；则222＋11c＋d＝259，11c＋d＝37 进而推知c＝3，d＝4所以abcd＝1234。
【答案】1234
abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd—abc【例 18】
—ab—a= 1787，则这四位数abcd= 或 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，16题 【解析】 原式可表示成：889a?89b?9c?d?1787，则知a只能取：1或2，当a?1时，b无法取，
故此值舍去。当a?2时，b?0，c?0或1，d相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010。
【答案】2009或2010
【例 19】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，
新数比原数大8802．求原来的四位数．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原数为abcd，则新数为dcba，
dcba?abcd?(1000d?100c?10b?a)?(1000a?100b?10c?d)?999(d?a)?90(c?b)． 根据题意，有999(d?a)?90(c?b)?8802，111?(d?a)?10?(c?b)?978?888?90． 推知d?a?8，c?b?9，得到d?9，a?1，c?9，b?0，原数为1099．
【答案】1099
【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不
相同，且没有0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求
这个四位数．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设组成这个四位数的四个数码为a，b，c，d (9?a?b?c?d?1)，
则有abcd?dcba?3834?4338?8172，
可得999(a?d)?90?(b?c)?8172?7992?180， 则a?d?8，b?c?2，a?9，d?1，M?1cb9?4338，且M的四位数字分别为1、c、b、9，由于8?9?17的个位数字为7，所以b，c中有一个为7，但b?c?2，所以c不能为7，故b?7，c?5，M?1579?4338?5917．
【答案】5917
【例 20】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称
这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这个巧数为ab，则有ab+a+b＝10a+b，a(b+1)＝10a，所以b+1＝10，b＝9。
满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
【例 21】 聪聪和明明做猜数游戏，聪聪让明明任意写出一个四位数，明明就写了明年的年号
2008，聪聪让明明用这个四位数减去它各个数位上的数的和，明明得到
2008?(2?0?0?8)?1998，聪聪又让明明将所得的数随便圈掉一个数，将剩下的数说出来，明明圈掉了8，告诉聪聪剩下的三个数是1，9，9。聪聪一下就猜出圈掉的是8，明明感到莫名其妙，于是又做了一遍这个游戏，最后剩下的三个数是6，3，7，这次明明圈掉的数是多少，聪明你猜出来了么？
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设任意一个四位数为abcd依题意中的计算方法可得
abcd?(a?b?c?d)?999a?99b?9c?9(111a?11b?c)即任意一个四位数减去其各个数位数字之和后的结果是9的倍数，根据被9整除的数字特点：各位数字之和应是9的倍数，而6＋3＋7＝16，16不是9的倍数，所以圈掉的数字是2。
【答案】2
【例 22】 设八位数A?a0a1a7具有如下性质：a0是A中数码0的个数，a1是A中数码1的个
数，……，a7是A中数码7的个数，则a0?a1?a2?a7? 。a5?a6?a7? ，该八位数A? 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级 【解析】 (1)由于a0是A中数码0的个数，a1是A中数码1的个数，??????，a7是A中数码7的个数，
那么a0?a1?a2?????a7表示A中所有数码的个数；而实际上A中共有8个数码，所以a0?a1?a2?????a7?8。 (2)略
(3) a5?a6?a7?0，说明a5、a6、a7都是0，这就表明A的末三位都是0，另外还表明A的各位数码中都没有出现5、6、7，所以A的数码中最大的最多为4，所以
3?a0?4。如果a0?3，也就是A的首位为3，末位都为0，中间的四位中还有一位为0，
另外的三个数之和为4，只能是2个1和1个2。由于1出现了两次，所以a1?1，由于2和4各出现了1次，所以a2和a4都是1，这样可得A为42101000。
【答案】a0?a1?a2?????a7?8，a5?a6?a7?0，42101000
模块二、复杂的位值原理拆分
【例 23】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，
那么这3个数字分别是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，培训试题 【解析】 设这六个不同的三位数为abc,acb,bac,bca,cab,cba，
因为abc?100a?10b?c，acb?100a?10c?b，……，它们的和是：222?(a?b?c)?1554，所以a?b?c?1554?222?7，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7?(1?2)?4，所以最大的数最大为4；又1?2?3?6?7，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．
【答案】1，2，4
【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个
三位数中最小的三位数的最小值．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
abc?acb?bac?bca?cab?cba?2(a?b?c)?100?2(a?b?c)?10?2(a?b?c)?222?(a?b?c) 所以a?b?c?2886?222?13，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位
数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13?1?9?3，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为139．
【答案】139
【例 24】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位
数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这三个数字分别为a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以
六个不同的三位数之和为222×（a＋b＋c）＝3330，推知a＋b＋c＝15。所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。
【答案】最小为159，最大为951
【例 25】 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是
多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个
不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。
【答案】573.5
【例 26】 a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个
三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？ 【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由a，b，c组成的六个数的和是222?(a?b?c)．因为2234?222?10，所以a?b?c?10．
若a?b?c?11，则所求数为222?11?2234?208，但2?0?8?10?11，不合题意． 若a?b?c?12，则所求数为222?12?2234?430，但4?3?0?7?12，不合题意． 若a?b?c?13，则所求数为222?13?2234?652，6?5?2?13，符合题意．
若a?b?c?14，则所求数为222?14?2234?874，但8?7?4?19?14，不合题意． 若a?b?c?15，则所求数?222?15?2234?1096，但所求数为三位数，不合题意． 所以，只有a?b?c?13时符合题意，所求的三位数为652．
【答案】652
【例 27】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位
数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是
0或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是ab，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a＋10b＋5＝（10a＋5）×9，化简得a＋b＝4。变成的三位数只能是405，315，225，135。
【答案】三位数只能是405，315，225，135
【例 28】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后
看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小
时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【答案】11小时
【例 29】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3
加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原来的两位数是ab，则得到的两个三位数分别为ab3和3ab，四位数为3ab3，由题知
ab3?3ab?3ab3?3600，即10?ab?3?300?ab?3003?10?ab?3600，21?ab?294，故ab?14．
【答案】14
【例 30】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(4?3?2?1?24)．将这24
个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从题中可以看出，这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d，它们
组成的24个四位数中，第二小的是abdc，是5的倍数，又c不为0，所以c?5．
它们组成的24个四位数中，第二大的是dcab，是2的倍数但不是4的倍数，所以b是偶数，而ab不是4的倍数．由b是偶数且b?c?5知b为4或2．若为2，那么a?1，但此时ab?12是4的倍数，矛盾，所以，又ab不是4的倍数，所以a为1或3．
它们组成的24个四位数中，第五小的为adbc (最小的5个依次为abcd，abdc，acbd，acdb，adbc)，第五大(第二十小)的为dacb (最大的5个依次为dcba，dcab，dbca，dbac，dacb)，所以dacb?adbc得到的四位数的千位为3．由于a?d，所以acb?dbc，那么减法算式中百位要向千位借位，所以d?1?a?3，故d?a?4．又d?c?5，所以a?1，那么a?3，d?7，
它们组成的24个四位数中最大的为dcba，即7543．
【答案】7543
【例 31】 记四位数abcd为X，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为X?，如果
X?X*?999，那么这样的四位数X共有_______个．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复赛，8题
【解析】 X?X*?999得到X?999?X??X??1000?1，所以如果a、b、c、d组成的四位数X?末
位数字不是0，那么X等于将X?的千位数字加1，个位数字减1，反过来X?等于X的千位数字减1，个位数字加1，所以X?为?a?1?bc?d?1?，与X比较，b和c位置没有换，交换的是a和d，X?表示为dbca，可以得到等式a?1?d，即a?d?1．所以a和d的取值组合，只有2和1，3和2，……，9和8，共8种情况．
对于其中任意一种组合，由于dbca是由四个数字a、b、c、d组成的最小的四位数，分别考虑b、c中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0，则b?0，d?c?a)；以及b、c都不为0的情况(此时d?b?c?a)，可知两种情况下各有3种可能，共6种可能：d00a，d0da，d0aa，ddda，ddaa，daaa．比如以a?4，d?3为例，dbca可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数．根据乘法原理，满足条件的四位数一共有8?6?48种．
如果a、b、c、d组成的最小的四位数X?末位数字是0，显然X?的百位、十位都是0，此时a、b、c、d无法组成其它的四位数，不合题意．
由于每一个X?对应一个X，所以满足条件的四位数X共有48个．
【答案】48
【例 32】 9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现
他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有 对．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复试，14题 【解析】 设abcd与efgh由相同的数字组成（顺序不一样），并且2010abcd?efgh．由于abcd与
efgh的数字和相同，它们除以9的余数相同，即9abcd?efgh，从而6030abcd?efgh．考
虑到0?abcd?efgh?9000，于是abcd?efgh?6030，abcd?6030?efgh．从末位数字可知
d?h，abc?603?efg．若c?3，abc?603?(a?6)b(c?3)，但
(a?6)?b?(c?3)?a?b?c?9?a?b?c，(a?6)b(c?3)?efg，abc?603?(a?6)b(c?3)不成
终稿-小学奥数教师版-5-6-7-8
