5-1奇数与偶数的性质与应用
教学目标
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
知识点拨
一、奇数和偶数的定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 二、奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 三、两个实用的推论
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶
例题精讲
模块一、奇偶分析法之计算法
【例 1】 1?2?3?……?1993的和是奇数还是偶数？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇
数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.
【答案】奇数
【例 1】 从1开始的前2005个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。 【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题
【解析】 1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005是奇数
【答案】奇数
【巩固】 29?30?31?……?87?88得数是奇数还是偶数？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 偶数。原式中共有60个连续自然数，有30个奇数，为偶数个。 【答案】偶数
【巩固】 1?2?3?4?5?6?7??99?100?99?98?97?96??7?6?5?4?3?2?1的和是奇数还
是偶数？为什么？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】偶数，在算式中，1~99都出现了2次，所以
1?2?3?4??99?99?98?97?96??4?3?2?1 是偶数，而100也是偶数，所以
1?2?3?4?5?6?7??99?100?99?98?97?96??7?6?5?4?3?2?1的和是偶数．
【巩固】 得数是奇数还是偶数？ (200?201?202?……?288）?（151?152?153?……?233）【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共
83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。
【答案】偶数
【例 2】 1?2?3?4?5?6?7??98?99的计算结果是奇数还是偶数，为什么？ 【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数?偶数，所以它们的乘
积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数?偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数．
【答案】奇数
【例 3】 东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038?13?75?64，他做得对吗？ 【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 等式左边是偶数，13?75是奇数，64是偶数，根据奇数?偶数?奇数，等式右边是奇
数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．
【答案】不能做对
【例 4】 一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是
多少？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以
原自然数为75.
【答案】75
【巩固】 一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数
的和是多少？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是
20。而由题意知道原来的三个偶数分别18,20,22，它们的和是60。
【答案】60
【例 5】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明
理由。
（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 （2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，
原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。1?2?3?4?5?6?7?8?9?27或1?2?3?4?5?6?7?8?9?27
【例 6】 能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22. 【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】不能。因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。
【巩固】 能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44. 【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】从性质上看，选出5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以
成立，那么可以把题目中的数都除以2.那么本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.
【例 7】 一个偶数的数字和是40,这个偶数最小是 。 【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题 【解析】 这个偶数的数字和是40，应让其各个位数尽量的大，首先让个位为8，则让其前面
尽量为9，则这个偶数最小为59998。
【答案】59998
【例 8】 多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中
刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：
…………
现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】6，由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而
6点的个数为8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．
【巩固】 一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1
段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么
白点的数目是奇数还是偶数？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白
点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.
【例 9】 沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物
上能否一共结有225个浆果?说明理由．
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】俄罗斯，小学奥林匹克 【解析】 略
【答案】不能。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一
定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.
【例 10】 有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、、14页和15页的
稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 先将偶数页的文章(2页、4页、、14页)编排，这样共有7篇文章的第一页都是
奇数页码．然后将奇数页的文章(1页、3页、5页、7页、9页、11页、13页和15页)依次编排，这样编排的1页、5页、9页和13页的4篇文章的第一页都是奇数页码．因此每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7?4?11 (篇)．
【答案】11
【巩固】 一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺
序）。第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第9题 【解析】 前15个故事让其均为偶数页，这样前15个故事均为奇数页开始，后面15个奇数页
的故事，有8个是从奇数页开始的，所以最多有15+8=23个。
【答案】23个
【例 11】 有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的乘积是
一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 入手点：最小的两位奇数是11，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最
大数都是奇数．
首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是11．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．由
1?2?3?4?10?11，2?3?4?5?14?11，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：1，2，3，5．
【答案】1，2，3，5
【例 12】 三个相邻偶数的乘积是一个六位数8????2，求这三个偶数． 【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由三个相邻偶数的乘积是一个六位数，可以断定这三个数必须是两位数，并且它们
的个位数字只能是0，2，4，6，8中相邻的三个．又这三个数积的个位数字是2，
所以，这三个相邻偶数的个位数字只能是4，6，8．
由于三个100相乘等于一个最小的七位数字1000000，三个90相乘等于729000，所以，这三个相邻偶数的十位数字必须是9，从而，这相邻三个偶数分别是94 ，96，98．经计算．94，96，98三个数满足题意．
【答案】94，96，98
【例 13】 两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四
位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】不能。因为数码都小于5所以这两个四位数相加不会产生进位，所以这两个四位数
的数码和等于7356的数码和，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，所以两个四位数的数码和为偶数，而7356的数码和是奇数，所以不成立。
【例 14】 任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之
和能否等于999？
【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】不能。2个三位数的和为999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生
进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么999的数字之和是27，而原来的2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a，则会有2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。
模块二、奇偶分析法之代数法
【例 15】 已知a,b,c是三个连续自然数，其中a是偶数。根据下面的的信息：小红说：“那
么a?1,b?2,c?3这三个数的乘积一定是奇数”；小明：“不对a?1,b?2,c?3这三个数的乘积是偶数”。判断小红和小明两人的说法中正确的是 。
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第4题，6分 【解析】 三个连续自然数就是a、a+1、a+2，则（a+1）（b+2）（c+3）=（a+1）（a+3）
（a+5）,三个奇数相乘一定是奇数.
【答案】小红
【例 16】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于
1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．
【考点】奇偶分析法之代数法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】因为两个数的和a?b与两个数的差a?b的奇偶性相同，所以的和是偶（a?b）?（a?b）数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．
【例 17】 是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?
【考点】奇偶分析法之代数法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略
终稿-小学奥数教师版-5-6-7-8
