同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案练习三
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1? 利用格林公式计算下列曲线积分?
(1)?(x2?y2)dx?(y2?x2)dy? 其中L是由y?0? x?1? y?x所围成区域的正向边界
L?
解 这里P?x2?y2? Q?y2?x2? 由格林公式
?(x2?y2)dx?(y2?x2)dy???(LD?Q?P???2x?2y? ?x?y?Q?P?)dxdy??2??(x?y)dxdy ?x?yD1x1 ??dx?(x?y)dy??2?3x2dx??1?
0002 (2)?(x2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy? 其中L为正向星形线
L22x3?y32?a3(a?0)?
解 这里P?x2ycosx?2xysinx?y2ex? Q?x2sinx?2yex?
?Q?P??(2xsinx?x2cosx?2yex)?(2xsinx?x2cosx?2yex)?0? ?x?y由格林公式
?(x2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy
L ???(D?Q?P?)dxdy?0? ?x?y (3)?(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy? 其中L为在抛物线2x??y2上由
L点(0? 0)到(?, 1)的一段弧?
2 解 这里P?2xy3?y2cosx? Q?1?2ysinx?3x2y2?
?Q?P??(?2ycosx?6xy2)?(6xy2?2ycosx)?0? ?x?y仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
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由格林公式 ??Pdx?Qdy???(DL?OA?OB?Q?P?)dxdy?0? ?x?y其中L、OA、OB、及D如图所示? 故 ?Pdx?Qdy??LOA?ABPdx?Qdy
2?y)dy?? 2 ??2120dx?(1?2y?3?004??4 (4)计算曲线积分?向?
解 这里P?ydx?xdy22
? 其中L为圆周(x?1)?y?2? L的方向为逆时针方
L2(x2?y2)y?x? ? 当x2+y2?0时 Q?22222(x?y)2(x?y)x2?y2x2?y2?Q?P???0? ??x?y2(x2?y2)22(x2?y2)2 在L内作逆时针方向的?小圆周 l ? x??cos?? y??sin?(0???2?)?
在以L和l为边界的闭区域D?上利用格林公式得 ?Pdx?Qdy???(?D?L?l?Q?p?)dxdy?0? ?x?y即 ?Pdx?Qdy????Pdx?Qdy??Pdx?dy?
Lll因此 ?2???2sin2???2cos2?ydx?xdyydx?xdy12?d????? ????d??0L2(x2?y2)?l2(x2?y2)2?02?2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
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