第二章 电路中的磁性元件
2.1 自感
通常磁通或磁链是流过线圈的电流i产生的。如果线圈中磁介质的磁导率μ是常数时，?(?)与i成正比关系，即
??Li 如果磁通(?)匝链全部激励线圈匝数N，则
N? (2.1)
ii式中L称为线圈N的自感系数，通常简称为自感或电感。由式（2.1）得到电感L的定义为单位电流产生的总磁通链。对于给定线圈磁路，线圈电流越大，产生的磁链越多。
将?=Li代入式(1.9)，可以得到
di e??L (2.2)
dt 由式(2.2)也可以定义电感量的单位：流过电感线圈电流在1秒内均匀地变化1安培时，如果产生感应电压正好为1伏，则此电路中线圈电感量定义为1亨利，简称为亨，代号为H。即
L??? L?1V?1S?1(H) (2.3) 1A从式(2.3)可见，亨利是伏秒/安培，故电感单位也可表示为欧·秒。
式(2.2)右边的负号表示电感两端的感应电
i增大 i减少 势e总是阻止电流的变化。当电流增大时，感应
电势与电流方向相反；电流减小时,自感的感应 + eL eL + (a) (b) 图 2.1 自感电动势与电流变化的关系
电势与电流方向相同(图2.1所示)。总是试图维持电感电流不变，即试图维持线圈包围的磁通不变。
电感阻止电流变化的性质表明电感的储能
特性。当电压加到电感量为L的线圈上时，在线圈两端产生感应电势（式(2.2)），在线圈中产生电流。在时间t内，电流达到i，电源传输到电感的能量：
We?uidt?0?t?t0iLidi1dt??Lidi?Li2 (焦耳) （2.4）
0dt2由式(1.11～1.13)和(2.4)可见，电源输出的能量变为磁场能量。在电路上存储能量的大
小与电感的一次方成正比，与电流的二次方成正比。反映在电路中磁场能量是电感电流。电感电流存在，磁场存在；电流为零，磁场消失。建立磁场或使磁场消失，需要从电源向电感输入或从电感释放能量。要使一定电感电流减少或增加某一数值，因为有能量的输出和输入，都必须经过一定的时间完成，不可能在瞬间改变。特别是载流电感要使磁场为零时必须将电感转接到一个闭合损耗回路，提供能量释放。
还应当注意，本质上，电感阻止电流变化的特性就是阻止电感磁芯中磁通变化的特性。
2.2 互感
2.2.1 线圈之间的互感
如果绕在一个磁芯上的两个线圈匝数分别是N1和N2，即互相间有磁通链合，如图2.2所示。当N1中流过的电流i1发生变化时，此电流产生的磁通?11也发生变化。根据电磁感应定律，在N1上产生感应电势，这就是自感电势。由于N1和N2有磁的联系，即磁通?11不仅链合N1，而且其中一部分?12穿过N2，i1变化时,?12也随之变化。因此在N2中也产生感应电势；反之，如果在N2中电流i2发生变化时，同样也会在N1中产生感应电势，这种现象称为互感现象。由互感现象产生的电势称为互感电势。由i1(i2)在N2(N1)中产生的磁通?12(?21)称为互感磁通.各线圈之间的磁通相互匝链的关系称为磁耦合。 2.2.2 互感系数
在图2.2中?11产生的磁通?12与线圈N2交链，其磁链为?12=N2?12。因磁通大小与电流i1的大小成正比，对于一定的匝数N2，磁链?12也与电流i1成正比，可表示为： ?12?M12i1 (2.5)
N1 N2
φ11 φ12
i1 i2 此比例系数M12称为线圈N1和N2之间的互感系
数，简称互感：
图2.2 互感现象 ?12 M12? (2.6)
i1同理，N2和N1之间的互感系数为M21。一般M12? M21。取其几何平均值M?M12M21。
互感定义为单位电流流过线圈N1时，在N2中产生的磁链。互感M越大，表明在N1中的电流在N2中产生的磁链越多。互感单位与自感相同，也是亨利。
线圈之间的互感M是线圈间的固有参数。它与两线圈的匝数，几何尺寸，相互位置和磁介质有关。当用磁性材料作为耦合磁介质时，由于磁导率μ不是常数，故M不是常数；若磁介质是非磁性材料，M则为常数。
2.2.3 互感电动势
根据电磁感应定律，互感电动势的参考方向应以互感磁通为准，用安培定则决定。线圈N1中电流i1在N2上产生的互感电势为：
?d?12Mdi??121 (2.7a) dtdt同样地在线圈N2中电流i2在N1中产生的感应电势为： eM2???d?21Mdi??212 (2.7b) dtdt 由上两式表明，互感电势大小取决于电流的变化率。感应电势的方向不仅取决于互感磁通的增加还是减少，而且还取决于线圈的绕向。但绕好的线圈有时无法在外形上判断绕向，同时在绘图时，画出实际绕组绕向显得十分不便，因此通常线圈的一端用‘·’表示所谓同名端。即电流从两个线圈的同名端流入，磁通是互相加强的；反之磁通互相抵消。 eM1?用同名端画出互感线圈如图2.3所示。这样不必画出线圈的绕向，M和箭头表示两个线圈互感为M的磁耦合。这样当i1增加时，线圈上感应电势的符号如图2.3(a)所示。根据自感电势判断‘1’端为‘+’,‘2’端为‘－’；根据同名端定义，立即判断出‘4’端为‘+’,‘3’端为‘－’。 当i1减少时，线圈上感应电势维持电感电流不变，感应电势符号如图2.3(b)所示。‘1’端为‘－’，‘2’端为‘＋’；根据同名端定义，立即判断出‘4’端为‘－’,‘3’端为‘＋’。
M M + - - eM2 + 1 - + 3 i1 i1 1 2 3 4 2 + - 4 (a) (b) 题2.3 同名端
2.2.4 互感电路和变压器 2.2.4.1 电压平衡方程
在研究两个线圈的磁耦合时，产生自感电势的磁通是本身线圈电流产生的(式2.1)；而互感电势磁通是另一个线圈电流产生的(式2.7)。如果分别从具有互感的两个线圈的同名端流入增量电流i1
和i2(图2.4(a))，它们所产生的磁通方向相同，磁通相互叠加，因此线圈上感应电势增大，即自感电势与互感电势极性相同。根据电势和电压降之间的关系，两个线圈电压分别表示为
di1di?M2 (2.8) dtdtdidi u2??eL2?eM1?L22?M1 (2.9)
dtdt 如果一个线圈的电流从‘·’端流入,而另一线圈从非‘·’端—异名端流入(图2.4(b))，
两个线圈电流产生的磁通方向相反，线圈上感应电势减小，即自感电势与互感电势极性相反，两个线 M M
圈端电压为： i1 i2 i1 i2 u1??eL1?eM2?L1di1di?M2 dtdt
didi u2??eL2?eM1?L22?M1 (a) (b) dtdt 图 2.4 同名端 从上面分析可见，如果在一个线圈中流过直流电流，即耦合的磁通不变化，则在另一个线圈中是不会产生互感电势的。
u1 L1 L2 u2 u1 L1 L2 u2 u1??eL1?eM2?L12.2.4.2 耦合系数
当两个有互感的线圈N1通过电流i1时(图2.5)，线圈N1产生的磁通?11(第一个下标表示产生磁通线圈号，第二个下标表示磁通通过的线圈号)可分为两个部分：一部分是同时匝链两个线圈的互感磁通?12，另一部分磁通只与激励线圈N1匝链，不与N2链合，称为漏磁通?1S，它是激励源产生的。漏磁通的大小与线圈间耦合紧密程度、线圈绕制工艺、磁路的几何形状、磁介质性能等因素有关。应当指出，本书中的漏磁和在以后提到的漏感仅在磁耦合线圈(变压器或耦合电感)中存在。漏感是相对互感存在的。独立电感不存在漏感问题。
如果将互感磁通与总磁通之比称为线圈N2对线圈N1的耦合度k1，则
k1??12 ?11 N1 N2 同理，线圈N2的电流产生的互感磁通?21与其总磁
φ11 φ12 通?22之比称为线圈N1对线圈N2的耦合度k2为：
?21 k2?
i1 φ1s ?22 如两个线圈都有电流流通，通过互感互相影
响，为了表明耦合程度，通常采用k1和k2的几何 图2.5 耦合线圈 平均值k来表示，即 k?k1k2??12?21???11?22N1N2?12?21i1i2?N1N2?11?22i1i2ML1L2 (2.10)
由于?12
所以,在一般情况下,耦合系数可表示为 k?M (2.12)
Mm它是实际互感和最大互感的比值。 2.2.4.3. 互感的串联与并联
2.2.4.3.1 互感线圈的串联
电感值分别为L1、L2的两个线圈，它们之间如果没有磁耦合，串联后的总的等效电感量为两个线圈电感之和L=L1+L2。如果两个线圈之间存在互感，同时异名端相连—正接(图2.6(a))时，也就是电流都是从两个线圈的同名端流入或流出，假定电流从同名端流入，则有
didididi U1?(L1?M)?(L2?M)
dtdtdtdtdidi ?(L1?2M?L2)?Lp
dtdt式中
Lp=L1+L2+2M (2.13) 为正接时的等效电感，也称互感线圈的全电感。
如果两个线圈的同名端相接(图2.6(b))，则有
didididi U1?(L1?M)?(L2?M)
dtdtdtdtdidi ?(L1?L2?2M)?Ln
dtdt式中
Ln=L1+L2-2M (2.14) 为反接时等效电感。可见Lp>Ln。因为Ln不可能为负值，故互感必须满足
M??L1?L2?/2
Lp?Ln?(L1?L2?2M)?(L1?L2?2M)?4M
或
M?(Lp?Ln)/4 (2.15)
式(2.15)表示了互感与正接和反接电感的关系。我们可以利用这一关系测试两个线圈之间的互感大小。还可以利用互感串联原理判别线圈的同名端。 2.2.4.3.2 互感线圈的并联 将没有互感的两个电感量为L1和L2的两个线圈并联，其等效电感为
LLL?12 (2.16)
L1?L2
M M L1 L2 L1 L2 i + U1 - i + U1 - (a) (b) 图 2.6 互感线圈的串联
如果两个有互感的线圈相连时，有两种情况： i M i M 同名端相连和异名端相连(图2.7(a)，(b))。端
+ + 电压方程为
U L1 L2 U L1 L2
di1di2 U?L1 ?M i1 i2 i1 i2 dtdtdidi (a) (b)
U?L22?M1
dtdt
式中的?按如下原则决定：同名端并联时取 ±M i 正，异名端连接时取负。因i=i1+i2，代入上
+ i1 i2 式, 经化简得到等效电感为
L1L2?M2 L? (2.17)
L1?L2?2M显然式中L不会为负值，k<1，L1L2-M2>0，则 M?L1L2
L1L2?k2L1L2L1?L2?2kL1L2 U L±M - L+M (c)
图2.7 互感线圈的并联
可以证明，同名端并联，当L1=L2且k→1时，等效输入电感为 L??(1?k2)LlL2L1?L2?2kL1L2?1?kL1?L1 2这相当于同一磁芯上的线圈并联，如果它们之间耦合不好k<1，并联后电感小于单线圈电感。如果两线圈电感量不等（L2≠L1）而k→1,由上式可见，等效电感为零。这是因为形成短路环流。
由式（2.17）读者可推导异名端并联时等效电感。 例2：在开关电源中，直流输出接成差模滤波如例图1（a）所示。测得L1=0.51mH=L2。如果
将输出端短路，测得总电感为L＝2mH。求互感系数M和耦合系数k。如果接成共模滤波（图1(b)），当输出短路时，输入端差模等效电感量是多少？输出输入端分别短接，
第二章 电路中的磁性元件
