课时作业(六) 平面向量
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得m＝－6，则m＝－6时，a＝(－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A. 答案：A →→→m2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD＝mBA＋nBC(m，n∈R)，则＝( ) n1A．－3 B．－ 31C. D．3 3→→→→→解析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以mBA＋nBC＝CD＝EA＝EB→2→→1→→m1＋BA＝－BC＋BA＝－BC＋BA，所以＝＝－3. 63n1－3答案：A 3．(2017·湖南湘中名校联考)已知向量a＝(x，3)，b＝(x，－3)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝( ) A．1 B.2 C.3 D．2 解析：因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，3)·(x，－3)＝3x－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，3)，|a|＝答案：D 4．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝( ) A．1 B.6 222＋32＝2，故选D. C.2 D．4 解析：∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，
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∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝m＋1＝2.故选C. 答案：C →→→→5．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝( ) A.C.ππ B. 36ππ D. 41222→→→→→解析：法一 OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB是→→→对角线向量BA，由已知可得，对角线相等，则平行四边形OADB为矩形．故OA⊥OB.因此OA·OBπ＝0，所以sinθ－cosθ＝0，所以锐角θ＝. 4→→→→→→法二 OA＋OB＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA－OB＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA＋OB→→2222|＝|OA－OB|可得(sinθ－1)＋(cosθ＋1)＝(－sinθ－1)＋(cosθ－1)，整理得sinθπ＝cosθ，于是锐角θ＝. 4答案：C →→6．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则CD·CB＝( ) 99A．－ B. 44C.2727 D．－ 44→→→→→→→→→→→→3→→解析：依题意得|CD|＝，CD·AB＝0，CD·CB＝CD·(CA＋AB)＝CD·CA＋CD·AB＝CD·CA2→→319＝|CA|·|CD|·cos60°＝3××＝，故选B. 224答案：B π7．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，则|a|＝1，|b|31＝，则a＋2b与b的夹角是( ) 2A.π5π B. 66 2
C.π3π D. 441π222解析：法一 因为|a＋2b|＝|a|＋4|b|＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a231π11132＋2b|＝3，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2344242b，b〉＝a＋2bb＝|a＋2b||b|3413×2＝3π，所以a＋2b与b的夹角为.故选A. 263??1π1π??1法二 设a＝(1,0)，b＝?cos，sin?＝?，?，则(a＋2b)·b＝323??2?44?3??13?3?3?，?·?，?＝4，|a＋2b|＝?22??44??3?2＋?3?2＝3，所以cos〈a＋2b，b〉＝?2??????2?a＋2bb＝|a＋2b||b|答案：A 3π＝，所以a＋2b与b的夹角为，故选A. 1263×2348．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－→→OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 →→→→→→→→→→→解析：(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0，∵AB－AC＝CB，∴(AB－→→→→→AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，故选A. 答案：A 9．(2017·湖南省五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB→＝2a，AC＝2a＋b，则向量a，b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° →→→→→解析：设向量a，b的夹角为θ，BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，∴|BC|＝|b|＝2，|AB|→21222＝2|a|＝2，∴|a|＝1，AC＝(2a＋b)＝4a＋4a·b＋b＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－，2θ＝120°.
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→→→→答案：C 10．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( ) A．a⊥b B．b⊥(a－b) C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) 解析：由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)． 答案：B 11．(2017·宝鸡市质量检测(一))在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，222N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|MN|＝2，则BM·BN的取值范围为( ) →→→?3??3?A.?，2? B.?，2? ?2??2??3??3?C.?，2? D.?，＋∞? ?2??2?解析：以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2. →→→→设M(a,2－a)，则0 4 2 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD. ∵ CD＝1，BC＝2， ∴ BD＝1＋2＝5， 22BC·CD225EC＝＝＝， BD5525即圆C的半径为， 5422∴ P点的轨迹方程为(x－2)＋(y－1)＝. 525?x＝2＋cos θ，?5设P(x，y)，则?25y＝1＋sin θ??50000 (θ为参数)， →→→而AP＝(x0，y0)，AB＝(0,1)，AD＝(2,0)． →→→∵ AP＝λAB＋μAD＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， 1525∴ μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ. 255两式相加，得 255λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3 55525???其中sin φ＝，cos φ＝?， 55??π当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3. 2故选A. 答案：A 13．(2017·广州市综合测试(一))已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角是________． 解析：因为a⊥(a－b)，所以a－a·b＝0，又|a|＝1，所以a·b＝1，设向量a与向量2b的夹角为θ，由cosθ＝ a·b12ππ＝＝，可得θ＝，即向量a与b的夹角为. |a|·|b|44225
2019届高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业六平面向量理87(1)
