2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年6月5日上午8:30??11:00
一、填空题（每小题7分，共56分）
若y?log2016?x2?ax?65?的值域为R?，那么a的取值范围是 ．答案：1、
?16?a?16．
解：由值域y?R，?x?ax?65?1，?x?ax?64?0
?22???a2?4?64?0，??16?a?16.
2、四面体ABCD中，?ABC是一个正三角形，AD?BD?2，AD?BD， AD?CD，则D到面ABC的距离为 ．答案：解：如图，据题意得，AB?23． 3AD2?BD2?22，
AC于是BC?CA?AB?22，CD?222AC2?AD2?2，
因BC?BD?CD，得BD?CD，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积V?DB314?AB2?23， AD?S?BCD?，而S?ABC?433123234h?S?ABC?h，由h?， 3333若设D到面ABC的距离为h，则V?得到h?23． 3若对于所有的正数x,y，均有x?y?ax?y，则实数a的最小值是 ．答3、案：2．
?yy?xx????2， 解：由????1，得???x?y??x?y?x?yx?y????
1
22当x?y时取等号．
4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点，记?APC??,?BPD??，则
tan2??tan2?? ．答案：8．
解：如图建立直角坐标系，设圆方程为x?y?r， 则正方形顶点坐标为A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)， A若点P的坐标为P(rcos?,rsin?)，于是直线
222YDPOCXBPA,PB,PC,PD的斜率分别为
kPA?1?sin?1?sin?1?sin?1?sin?，kPC?， ,kPB??,kPD??1?cos?1?cos?1?cos?1?cos?2?kPC?kPA?22所以tan?????4(cos??sin?)，
?1?kPAkPC??k?k?tan2???PDPB??4(cos??sin?)2，
?1?kPBkPD?由此立得tan??tan??8．
解2：取特例，P在坐标轴上，则???， 这时，tan??cot??2222?2?tan?，?tan2??tan2??22?22?8 15、等差数列2,5,8,L,2015与4,9,14,L,2014的公共项（具有相同数值的项）的个
数是 ．答案：134．
解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,L,2016与等差数列
5,10,15,L,2015的公共项个数；前者是M??1,2,3,L,2016?中的全体能被3整除
的数，后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项是M中的全体能被15整除的数，这种数有?
?2016??134个． ??15?2
6、设x为锐角，则函数y?sinxsin2x的最大值是 ．答案：
解：由y?2sinxcosx，
得y?4sinxcosx?2(1?cosx)(1?cosx)?2cosx
242222243． 9?(1?cos2x)?(1?cos2x)?2cos2x??2?16?2??2?， ????3327????所以y?334312．当cosx?时取得等号． 937、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张3?3方格表的九个格子中，
使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是
解答：（答案有多种） 1
2
8
7649358、把从1到n(n?1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相
邻两项的和为平方数，则正整数n的最小值是 ．答案：15．
例如，排出的一个数列为
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这n个连续正整数的集合为M??1,2,L,n?，由于n?1，
则M中必有2，而2?7?9，所以n?7，当n?7时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：
(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即n?10，而之前的数若与8,9,10邻接，只有
3
8?1?9,9?7?16,10?6?16，这三段扩充为
(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10
这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则n?15，而当M??1,2,L,15?时，可排出上面的情形：
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
二、解答题（共64分）
x2y29、（14分）如图，CD是椭圆2?2?1的一条直径， ab过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线，交椭圆于 另一点N，交椭圆短轴所在直线于M， 证明：AM?AN?CO?CD． A证1：椭圆方程为x?acos?,y?bsin?，
YNMODBXC点A,N的坐标为A(?a,0),N(acos?,bsin?)，则直线AN方程为
?x??a?tcos?， ……3' ??y?tsin?代入椭圆方程得到(bcos??asin?)t?2abtcos??0，
2222222ab2cos?a?AN?t?2，AM?(??)，……6' 222bcos??asin?cos?22a2b2因此AM?AN?2，……9'
bcos2??a2sin2?又据AN∥CD，则点C,D坐标为：C(?ODcos?,?ODsin?)，
D(ODcos?,ODsin?)，……12'
a2b2因为C,D在椭圆上，则CO?2，而，
bcos2??a2sin2?2 4
2a2b2CO?CD?2CO?2，
bcos2??a2sin2?2因此AM?AN?CO?CD．……14' 证2：
易知CD的斜率k存在，不妨令CD:y?kx，与椭圆方程联系， 解得
?abkabC??,b2?a2k2b2?a2k2???abkab、D,??222b2?a2k2??b?ak?? ……3' ?,
?CO??1?k?ab2222b?ak222,CD?4?1?k2?a2b2b?ak222?CO?CD?2?1?k2?a2b2b?ak22……6'
AN方程为： y?k?x?a?,?M?0,ka?.
将AN方程与椭圆方程联立，得b2?a2k2x2?2a3k2x?k2a2?a2b2?0
??2a3k2ab2?a3k2?xA?xN??2,?xN?2 ……9'
b?a2k2b?a2k22kab22yN?2,?AM?a1?k ……12' 22b?ak?ab2?a3k2?4k2a2b42ab21?k2AN??2?a???2， 22222222b?ak?b?ak??b?ak?2?AM?AN?2a2b2?1?k2?b?ak222?CO?CD …14'
（15分）如图，D是?ABC的旁心，点A关于直线DC的对称点为E．证明： 10、
(1)、B,C,E三点共线；(2)、
四点共圆．
5
A,B,D,E
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