高考数学中的切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43?.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .14?.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，
则这个球的表面积为（ ）.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? C.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知
9该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周
长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
6x?3,1??x?,??2?932??xh,???6?4?h?3．?8
∴正六棱柱的底面圆的半径
22R?r?d?1.外接球的半径
r?31d?2.∴2，球心到底面的距离
?V球?4?3.
222R?r?d小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法) 1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外
接球的表面积是_______________.9?.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
2故其外接球的表面积S?4?R?9?.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，
222则有2R?a?b?c.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即
练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为
例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3? B. 4? C. 33? D. 6? A. (如图2)
例7）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，?DAB=60，E为AB的中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）.
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2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
