?DG?A1B,A1B?2,AG?1?S?A1DG?1A1B?1,DG?3, 2113A1G?DG??1?3?222 ...10分
1133VG?A1DC?VC?A1DG?S?A1DG?CD???2?.3323 ...12分
19. 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为
(0.02?0.04?0.02)?10?0.8，
所以样本中分数高于60的概率为0.8．
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．
3分
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为
(0.01?0.02?0.04?0.02)?10?0.9， ...5分
分数在区间[40,50)内的人数为100?100?0.9?5?5． ...6分 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为500?5?25． ...7分 100（Ⅲ）设3名男生分别为a1,a2,a3，2名女生分别为b1,b2，则从这5名同学中选取2人的结果为：
{a1,a2},{a1,a3},{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2}{，a3,b1},{a3,b2},{a2,a3},{b1,b2}
共10种情况. ...9分 其中2人中男女同学各1人包含结果为：
{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2}{，a3,b1},{a3,b2}，共6种. ...10分
设事件A?{抽取的2人中男女同学各1人}，则P(A)?所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是20.解：（1）由抛物线定义得2+
63? 1053. ...12分 5p=3， ...2分 22解得p?2，所以曲线C方程为x?4y ....4分
?OP?OQ. ...5分 （2）以PQ为直径的圆过原点O， - 6 -
设直线OP的方程为y?kx(k?0),与曲线C方程x2?4y联立，得x2?4kx
解得x?0(舍去）或x?4k 于是P(4k,4k2). ...7分 又直线OQ的方程为y??14kx，同理：Q(?k,4k2) .....9分 又直线PQ斜率存在，?PQ的直线方程为y?4k24?x?4k,....10分 k2?4k2?4k?4k
即y?(k?1k)x?4.
?直线PQ恒过定点（0，4）. ...12分
20.解：（1f(x)?ax2?x?lnx,1）
?f'(x)?2ax?1?x.
?k?f'(1)?2a....1分
因为f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y?2x?1平行， ?2a?2,即a?1....2分
?f(1)?0,故切点坐标为（1,0）....3分
?切线方程为y?2x-2. ...4分 (2)f'(x)?2ax?1?12ax2?x?1x?x,?由题知方程2ax2?x?1?0在（0，??）上有两个不等实根x1,x2.
?????1?8a?0,???x11?1?x2?2a?0,?0?a? 8. ...6分 ???x1x12?2a?0,又f(x21)?f(x2)?ax21?ax2?(x1?x2)?lnx1?lnx2 ?a(x221?x2)?(x1?x2)?ln(x1x2) =a[(x21?x2)?2x1x2]?(x1?x2)?ln(x1x2)
=ln12a?14a?1,
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令t?12a,g(t)?lnt?t2?1,t?(4,??),则g'(t)?112?tt?2?2t?0,...9分?g(t)在(4,??)上单调递减.
?g(t)?g(4)?ln4?3?2ln2
?3.即f(x1)?f(x2)?2ln2?3.
...12分
22.解析：(I)将点P(1,32)代入曲线E的方程，
?1?acos?,得???3
?2?3sin?,解得a2?4，……2分
所以曲线E的普通方程为
x2y24?3?1, 极坐标方程为?2(1cos2124??3sin?)?1.……5分
(Ⅱ)不妨设点A,B的极坐标分别为
A(??1，?)，B(?2，??2)，?1?0，?2?0,
??(1?2cos2??1?221sin?则?)?1,?413
???(14?22cos2(???1?2)?3?22sin2(??2)?1,??1?1cos2??1sin2?,即???2143……8分 ?1???2?1sin2??1cos2243?,11?2?1?2?14?13?712,即117|OA|2?|OB|2?12……10分 223. 解析：(I)由f?x??m，得，
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不等式两边同时平方，得(x－1)2?(2x＋1)2，……3分 即3x(x?2)?0，解得?2?x?0.
所以不等式f?x??m的解集为{x|?2?x?0}．……5分 (Ⅱ)设g(x)＝|x－1|－|2x＋1|，
?1 ?x?2,x???2, g(x)????3x,?1?x ?2?1,??x?2,x?1,……8分 ??
f?n??0?g(n)??m因为g(?2)?g(0)?0，g(?3)??1,g(?4)??2,g(1)??3.又恰好存在4个不同的整数n，使得f?n??0， 所以?2??m??1.
故m的取值范围为[1,2). ……10分
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河南省郑州市2024届高三数学上学期第一次质量预测试题文（扫描版）
