第三章 全等三角形
3．5．1 直角三角形的性质和判定
第二课时 含30°角的直角三角形的性质与判定
一．预习题纲 （1）学习目标展示
1．经历探索活动，了解含30°角的直角三角形的性质
2．在具体情景中运用含30°角的直角三角形的性质与判定来解决数学问题 （2）预习思考
1．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么另一个角是多少？
2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么斜边上的中线将这个直角三角形分成几个等腰三角形？
3．在直角三角形中，如果一个锐角为30°且这个角所对的直角边长为a，那么斜边长是多少？
二．经典例题
例1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，△DBC是等边三角形，已知BC=12，求AD的长 A D 【分析】因AD∥BC，∠A=90°，∴∠ABC=90°，又△DBC 是等边三角形，∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中利用 “直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半” 可求得AD的长 B C
【简解】因AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180，又∠A=90°，∴∠ABC=90°，因△DBC是等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，因BD=12，AD=6
【规律总结】在直角三角形中，如果有一个角是30°，常应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”来求线段的长或证明线段的倍．分关系
三．易错例题
例2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形顶角的度数 【错解】如图1，在△ABC中，BD⊥AC，因BD=
1AB，∴∠A=30° 2【错解分析】错解只考虑了△A ABC是锐角三角形的情况，忽视了△ABC为钝角三角形的另一种情况 D D A B 图1 C
图2 B C
【正解】当△ABC是锐角三角形时，顶角为30°，当△ABC为钝角三角形时，如图2，CD⊥BA交BA的延长线于D，因CD=
1AC，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=150° 2【点拨】在等腰三角形中，当三角形的形状不确定时常分类讨论
一．课前预习
1． 在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于 2． 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 度 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则AB=
二．当堂训练
知识点一：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半
1．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=3，则AB= ，
C BD=
A 第1题 D B
2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，若AB=10cm，则BC=
3．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处，上午10时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，问上午8时，该船与灯塔相距多少海里？ 北 B
30°
C 第3题东 A
知识点二： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度 A 4．如图，BD是△ABC的高，CD=1，BC=2，AD=3，则∠ABC= D B C
第4题
5．在直角三角形中，最长边为4，最短边为2，则最长边与最短边的夹角为 6．在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=
课时测评：（40分钟，满分100分）
一．选择题 （每小题5分，共25分）
1． 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在C AB的中点E处，则∠A的度数为（）
A．25° B．30° C．45 ° D．60°
2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )
A
E
D 第1题
B
1AB，求∠B的度数 2
A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3
3． 等腰三角形的底角为15，腰长为12，则腰上的高为（） A．3 B．4 C．6 D．12
4． 在△ABC中，∠C=90，ED垂直平分AB交于D，交AC于E，∠A=30°，则AE与EC的关系为（ ）
A．AE=2EC B．AE=EC C．EC=2AE D．AE=
1EC 25．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，∠B=30°，这样图中存在着某些三角形，使其中的一边是另一边的一半，则图中这样的三角形共有（ ） A A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
F E
B 第5题 D C
二．填空题（每小题5分，共25分） 6．在△ABC中，如果∠A=
11∠B，∠A=∠C，则∠A= ，∠B= ，∠C= 237．在直角三角形中，如果有一个锐角多比另一个锐角大30°，则较大锐角为 8．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．
9．如图，ΔABC中，∠C=90o，∠B=15o，AB的垂直平分线交BC于D，若BD=4cm，则
C AC=______
A
D
CBDA B 第10题
第9题
10．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，AC=12cm，则CD = 三．解答题 11．（本题满分12分）如图所示：在ΔABC中，∠C=90°，∠B=15°AB的垂直平分线交BC于D，且BD=8cm，求AC的长．
A
E CBD 第11题 12．（本题满分12分）一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在西偏北75°方向上，两小时后，船在B处，测得小岛在西偏北60°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮
船仍按每小时15海里的速度向前航行，有无触礁危险？
北 P
60° B 75°A
第12题 13．（本题满分12分）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30° 求证：△BDC是等边三角形．
第13题
14．（本题满分14分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交AB于N，交BC于M，猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想。
B
M
N
A 第14题 C
答案：
一．课前预习
1．斜边的一半 2．90 3．10 二．当堂训练
1．6；1。5 2．5cm 3．40海里 4．90° 5．30° 6．30° 三．课时测评：
1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．30°；60°；90° 7．60° 8．6 9．2 10．8 11．4 12．有危险 13．∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠A+∠B=90°，∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°，∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=
1AB?BD∴△BDC是等边三角形 211MC，又BM=AM，∴BM=MC 2214．连结AM，∵NM是AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴∠MAB=∠B=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=
第25课时直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半
