第一章曲线论
§2向吊;函数
5.向hi帕数尺/)具冇尚定方向的充要条件是只\X ?(/)= 6.
分析：一个向最函数只/) ■般可以写成r(/)二久⑺W/)的形式，具中貢/)为单位向最函数， 几(/)为数a甬数.那么roojirr同定方向的充要条件足&(/)具仃固足方向，即貢/)为常向a， (因为W/)的长度固定)。
证对丁?向锻函数7(/).设&(/)为梵0位向a,则70 = 1(/) ^z).若固疋方向. 则買/)为常向駅，那么?(/) = A'(/) e ,所以? X P = A Z* ( & X E ) =6?
反 Z,若 rX? = 6，对?(/) = A (/)?(/)求微商得 7*=A ? e +A e' , P^rX ? = A' 〔云
xW)?6?则有A -0或ax歹-6 .半几(/)?0时，?(Z)=0 nJ与任意方向平行； SA H 0时，有0xN=6, ifrjdxg' )2=&2?2 _(& 歹)2 =护，(因为& 具有固定长, ?-^' = 0),所以0 = 6,即&为
常向址.所以，只刀貝有固定方向.
6.向量说数7(/) rtf Jiff面的充冬条件是(r戶円)=0。
分析：向呈函数F⑺平行于固定平面的充要条件足心在-个iir向向呈方⑺,使?(/) W = 0 ,所以我们薑3求这个向屋万及万与戶，尸'的关系.
证若只刀平疔于?固定平面-设万是平面八的?个单位法向黑则方为常向电 且只刀 ?非零向戢另
牙,
=0。
州次求微商得戶万=0,户'?刁=0,即向岸r, ?.户‘唾直于同 因而典面，即(亍F产)二0?
反之.若(r戶产)=0,则仃rx尹=0戒7X?丰0。若rXF = 6, 具有固定方向，白然半厅于一固定半面，若?X? H 6.则存庄数曲函数入(C、 2产+戸戶 Q)
令万=7X戶，则万H 6,且7V)丄瓜/) 0对^=7x7'求微商并将＜1)式代入得=7 X ?'=jU
(7X?)=/^ u,于是方X；?=6 ,由上題知万有固足方向，而/(/) ± n,即r(/) 平行于固定半而.
§3曲线的槪念
1. 求圆柱螺线.\
r=siiiZt二=/在(1,0,0)的切线和法平面.
\\=0, r*(0)={ -sill/, cos/.l}|,^ -(O.IJ).曲线在
解 令 cosz=l, sin z=0, \\=0
(0丄1)的切线为口 =上=三
0 1 1
2. 求三次Illi线7=初血2心込住点％的切线和法平面。
解 只（G = S，2勿0.3扇},切线为二=三早,
a 2 妬 3cf；
法半面为a{x - ％） + 2见（y- b恰+ 3砧（二-疋）二0。
尸-{-a sinO ,Q COS0 , b }■设切线与z轴夹角为卩?则cos? b r
‘匕—为常数,故0为定角（其中斤为Z轴的单位向iih。
i 4.求悬链线r={/ 解 戶 3.证明岡柱螺线?-{ a cosOesinO,方0}（-HY0 YHC）的切线和z轴作固定角。 证明 ,“coshp (-oo- Tcosh^力二 nsinh ?? Jo a 9 .求曲线?r^=3\在半面尹=手 My = 9a之间的弧长? 解 曲线的向帚衣示为A = {.r,^,2 —}? ilh面与两平面丿=3与y = 9a的交点分别为TX% M x=3a ? F ={hp厂；7^八 I「I =Jl + r + T\ a 2x Y \4,r a f 站”丫 2 / T (尹 17) 0 10.将圆柱螺线? = {acosz. a sill Z, b门化为自無参数衣示。 解 r' = { -asin /, acosz, b), s = f b0 = +夕/,所以/= , ___________ Jo JR十夕 c o bs 代入ffi方程紂 A={a cos . a sill ； ___ ___ __ 7777^ 7777^ 777^ 11?求用极坐标方程Q二Q（8）给出的曲线的如长衣达式。 3(7 解 由 T= p(0)cos0 ? r= p(O)sm0 知 r' ={ p'(p) cos0 - Q(0)sin0 ? p'(0) sin0 + p((?)cos0 }, I /' I = Jp2(0)+ Q2 ⑹,从 ％ 到0 的曲线的弧氏足 打：Jp2(0)+ p,2(0)\ §4空何曲线 1.求圆tt螺线.r=acosz, r^asiiiz, = = b/任任意点的密切平面的方程. 解 戶={ -asin Z. acosz, b},r'={-a cos/, - a sin Z,0 } 所以曲线住任意点的密切半面的方程为 mcos/ 一 nsin z r-/7sinz z-bl “cos/ h =0 ? 即(bsin Z)x-(bcosZ)y+az-abt=0 . 一刃cos/ —asin Z 0 2?求曲线r {tsiuz.tcosz.t/ }在原点的密切半而.法平面.从切面.切线.主? 线.制法 J}. 线。 解 原点对应 t=0? r*(0)={ siiiz+tcosz, cosz*tsin/, r\?tsn】/,2y+ty }? ={2,0,2} ? 所以切线方程是彳千千?法面方程是y I\： 密切平面方C足 0 1 1 =0 . 2 0 21 主法线的方程足［WrM I # + ? = 0 R|J —=—— = r I* 从切面力程处2x-y+2詢，副法线方程式一=上= 3. 证明圆tt螺线T二acos八rnsiuc : = b了的i法线和z轴乖直相交. uE ?'={ -asiu/, acosz, b）. r^'={-a cosz? - a sill Z. 0 } ? rfl Z* 1 严知严为 主法线的 方向向蚩，而Z\所以主法线与Z轴iftrt： k法线方程是 T-〃cos/ r- ^siii t z- bt ________ _________________ cos/ sin t 0 Uztt/r公貝点（0,0. bt）,故圆柱螺线的主法线和z轴乖￡￡相交? 1?在曲线X = cos a cost > y = cos a sint , z = tsina的副法线的止向取单位K.求Jt 端点组成的新Illi线的密切平面。 解 尸={-cosC￡ sint, cos oc cost, sina } ? r'*={-cos ct cost, - cos a sint ■ 0}
微分几何第四版习题答案梅向明
