关于Lyapunov稳定性这一概念的教学设计
【基金项目】西南石油大学校级青年教师教改项目资助（2014JXYJ-39）。
李雅普诺夫稳定性是常微分方程中的难点之一。由于数学概念的高度抽象性以及学生认知能力的局限性， 学生对概念的学习往往只停留在表面的抽象的数学符号上， 其更深层次的含义理解不到位， 导致对后续知识的学习也会一知半解。该定义刻划的是微分方程由初值产生的扰动对方程的解的影响。
先看一个具体实例――Malthus模型： 假设人口的净增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是一个常数r（r>0），若用x（t）表示t时刻某区域的人口，那么该模型为： ■=rx， ＼？鄢MERGEFORMAT （1）
若已统计出t0时刻的人口数量为x0，即x（t0）=x0，那么结合可求得：
x（t）=x0ert ＼？鄢MERGEFORMAT （2）
据此表达式可预测出未来的人口发展趋势. 但是这里的初值条件x（t0）=x0通常是由统计数据得到的， 误差时难免的， 那么自然会问： 该误差对我们的求解影响大吗？
假设真实的数据是x（t0）=？准0， 那么在此初值条件下的解为？准（t）=？准0ert.当时间t→+∞时， 在这两种初值条件下的误差： ？准（t）-x（t）=？准0-x0ert→+∞ ＼？鄢MERGEFORMAT （3） 上式说明： 若初始值即使有很小的误差， 这个误差会随着时间t的
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增加而被无限放大， 最终会导致“差之毫厘， 谬之千里”的结果. 实际上， Malthus模型将问题简单地线性化， 假设人口净增长率为一常数， 而忽略了人口的制约因素， 与实际规律不符. 那么， 对一个实际模型， 如何从这个角度来验证该模型的合理性呢？ 这就是稳定性要讨论的问题。 考虑一般的一阶微分方程
■=f（t，x） ＼？鄢MERGEFORMAT （4） 这里假设f（t，x）在开区域G？哿R×R内连续， 关于变量x满足局部Lipschitz条件. 假设真实初值为
x（t0）=？准0 ＼？鄢MERGEFORMAT （5） 那么， 根据前面假设， 问题在条件下有唯一解 x=？准（t） ＼？鄢MERGEFORMAT （6） 若有另一组初始值
x（t0）=x0 ＼？鄢MERGEFORMAT （7） 问题在条件下的解与初始值x0相关，不妨将该解记为 x=x（t，t0，x0） ＼？鄢MERGEFORMAT （8） 既然初值条件都不可避免地存在误差， 我们自然希望当初始误差不大时， 在这两组初始值下得到的方程的解的误差也不大。即解的误差能由初始误差控制. 这样， 用极限的语言描述， 即：
当x0→？椎0时，对任意t≥t0，有x（t，x0）→？准（t） 根据上式， 得到如下李雅普诺夫稳定性。
定义 假设f（t，x）在开区域G？哿R×R内连续， 关于变量x满
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足局部Lipschitz条件. 如果对于任意的？着>0， 存在一个？啄=？啄（？着）>0，使得对于满足的解？椎（t）以及满足和的解x=x（t，t0，x0），只要？椎0-x0
希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：
1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。不如积阴德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。 2、积德为产业，强胜于美宅良田。 3、能付出爱心就是福，能消除烦恼就是慧。
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