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函数的单调性
学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应
用函数的基本性质解决一些问题。
(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象
和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
(3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性;
(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
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函数的单调性 单调性的定义 减函数 单调区间 学习要求 定义法证明函数的单调性 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.
自学评价
观察函数f(x)?x,f(x)?x的图象
2y y f(x)?x
f(x)?x2
从左至右看函数图象的变化规律: (1). f(x)?x的图象是_________的,
0 x 0 x f(x)?x2的图象在y轴左侧是______的,f(x)?x2的图象在y轴右侧是_______的.
(2). f(x)?x在(??,??)上,(fx)随着x的增大而___________;f(x)?x在(??,0] 上,
2(fx)随着x的增大而_______;f(x)?x在(0,??)上,(fx)随着x的增大而________.
2一、 函数的单调性
1.单调函数的定义
(1)增函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1?x2时都有f(x1)?f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
(2)减函数:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1?x2时都
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(3)单调性:如果函数y?f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y?f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y?f(x)的单调区间。
※ 增函数、减函数的定义 ; 增函数: x1?x2?f(x1)?f(x2)
y
减函数: x1?x2?f(x1)?f(x2)
y f(x1) f(x2) 有f(x1)?f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
f(x1) f(x2)
x x x 0 12
2、单调性的判定方法 (1)定义法:
判断下列函数的单调区间:y?0 x1 x2 x 1 x2(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断:
设y?f(x),u?g(x),x?[a,b],u?[m,n]都是单调函数,则y?f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数。
①若y?f(x)是[m,n]上的增函数,则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。
②若y?f(x)是[m,n]上的减函数,则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。
即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)
练习:(1)函数y?为 .
4?x2的单调递减区间是 ,单调递增区间
的单调递增区间为 .
(2)y?
1x?4x?523、函数单调性应注意的问题:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
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③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在增(或减)函数
上是
例题精讲;
二函数单调性的证明
.例题分析
1在(0,??)上是减函数。 x证明:设任意x1,x2∈(0,+∞)且x1?x2,
11x2?x1?则f(x1)?f(x2)??,
x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+∞),得x1x2?0,又x1?x2,得x2?x1?0, ∴f(x1)?f(x2)?0,即f(x1)?f(x2)
1所以,f(x)?在(0,??)上是减函数。
x1说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:y?不能说
x(??,0)?(0,??)是原函数的单调递减区间;
3练习:1..根据单调函数的定义,判断函数f(x)?x?1的单调性。
例1,证明:函数f(x)?2.根据单调函数的定义,判断函数f(x)?
x的单调性
例2,,下图是定义在区间[-5,5]上的函数y?f(x), 根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间 上,它是增函数还是减函数?
y 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x 思维点拔: 观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域. -1 -2 -3 ,
例3, 物理学中的玻意耳定律p?积
V减小时,压强p将增大,试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数p?k(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体Vk在区间?0,???上是减函数即可. V精品文档
高一函数单调性完整版
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