宁波大学2024年硕士研究生招生考试初试试题
参考答案及评分标准(A卷)
科目代码:
总分值： 743 150 科目名称： 农学基础数学
命题教师：
一．选择题：1-8小题，每小题4分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1. D 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C 7. C 8. B 二． 填空题：9-16小题，每小题4分，共32分。 9. 2 10. y?c??ex?x??x 11. 3y2f2?y2x?f??y2x?1?ezdx?6xyf2?y2x?f??y2x?1?ezdy 12. 3? 113. ?4E?A? 53n14. 215. 5/16 16. 2n?4 三．解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题满分10分） 计算极限lim0x?0??extant?esint?dtx4 解： limx?0??e0xtant?esint?dtx4eetanx?esinx?lim?lim3x?0x?04xsinx?etanx?sinx?1?4x3?limtanx?sinxx?04x3 (6分) tanx?1?cosx?1?cosx1?lim?lim? x?0x?04x34x28 (4分)
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参考答案及评分标准(A卷)
科目代码:
总分值： 743 150 科目名称： 农学基础数学
命题教师：
18.（本题满分11分） dx 计算不定积分?23x?1?x?解：? 23dxx?1?x223???d?tant?tant?1?tant????1?sin2t?dsint2sint (4分)???1?2sinxt?sin4t?dsintsint1?lnsint?sin2t?sin4t?c42x21?x2??ln????c22?21?x4?1?x?1?x 19.（本题满分11分） 设曲线 y?x 和直线 y?x 所围平面区域为D ， 求： （）1D区域的面积。（2）??cosydxdyD (7分)1 (5分)x?sinxdx?2sin1?cos1?1解：(1) D的面积为?0?xxx?xdx?1?16(2) ??cosydxdy??dx?cosydy???sinD001? (6分) 20.（本题满分11分） 设过平面曲线L上任一点P?x,y?的切线与直线OQ垂直，其中O点为原点，动点Q的坐标为?x,2y?，且曲线L过点?1,1?，求曲线L的方程。 2y1解：由题意可知：y?? ??1?2ydy??xdx?y2??x2?cx2 (9分)13因为曲线过(1,1)点，所以有：1???c?c? 2222所求的曲线方程为：x?2y?3 (2分)
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总分值： 743 150 科目名称： 农学基础数学
命题教师：
21.（本题满分9分） ?x1?x2?x3?1?问： 设线性方程组?x1??x2?0, ??,a为常数?，?x??2x?x?a23?1(1)?，a 满足何条件时，方程有唯一解？ (2)?，a 满足何条件时，方程组有无穷多个解？并求通解。 111解：（1）1?1?20??2?1?0????1,a?R有唯一解。1 (3分) ?11?（2）增矩阵?1?2?1??11?1??111???1??00?????00?1?1? ?000a?1??1a??? ?0???1?????当a?1,??1时，有无穷解。通解为X??0??C?1?,C?R?1??0????? (3分)11??10?22??1111????????1?11?增广矩阵?1?00?????01 ??222????1?1a??000a?1???????1??1???2??2?????11当a?1,???1,有无穷解，通解为：X=c??????,c?R ?2??2?????10???????????? (3分)
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总分值： 743 150 科目名称： 农学基础数学
命题教师：
22.（本题满分12分） ?x1??34? 设A??,X????0,若AX??X，???1?2??x2?(1) 求 ? 和 X。 (2) 计算An ?n为正整数?。 解：AX??X??A??E?X?0?A??E?0????1,??2 (2分)?44??11???1?当???1,A??E?? ?X?c1?????,c1?0??1?1??00??1? (2分)?14??14???4? ?X?c2?????,c2?0??1?4??00??1? (2分)??1?4???1??1（2）令：P?? ,则有：A?P???P112???? (2分)??2,A??E????10??1??1?4???10?1?14?A?P??P???????02???11??02?3??1?1?n?1n?1n?2n?2???1?2?1?4?2????1?(4分)?An??nnnn?3???1??2??1??4?2??
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总分值： 743 150 科目名称： 农学基础数学
命题教师：
23.（本题满分12分） ?x设随机变量X的密度函数f(x)?Ae,x?(??,??)。 (1) 求常数A的值。 (2) 求X的数学期望EX和方差DX。 (3) 求X与X的协方差和相关系数，并说明X与X的相关性。 (4) 问X与X是否相互独立？说明理由。 解： （1）由1??（2）E(X)??????????f(x)dx????Ae?xdx?A?2得A?1; （2分） 21?xxedx?0 ??2D(X)?E(X2)?[E(X)]2 ????11 ??x2e?xdx?0?2?x2e?xdx?2 （4分） ??022??1（3）Cov(X,X)?E(XX)?E(X)E(X)??xxe?xdx?0?0 ??2Cov(X,X)?XX??0，所以X与X不相关. （4分） D(X)D(X)（4）若X与X相互独立, 则对任何a?0, P(X?a)P(X?a)?P(X?a,X?a)=P(X?a) 因此P(X?a)?1, 显然不成立, 比如P(X?1)?1,故X与X不相互独立. （2分）
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总分值： 743 150 科目名称： 农学基础数学
命题教师：
24.（本题满分10分） 设随机变量X1与X2相互独立，分别服从参数为?1和?2的泊松分布。 (1) 求Z?X1?X2的概率分布。 (2) 求Z?n的条件下, X1的概率分布。 解：（1）由离散卷积公式： P(X1?X2?n)??P(X1?k,X2?n?k)k??P(X1?k)P(X2?n?k)kn?k?k?????12??e?e(n?k)!k?0k!n12 ??e?(?1??2)n!?C?knk?0nk1??n2?k， n?0, 1, 2, ?(?1??2)nn!因此, Z?X1?X2~P(?1??2), 参数为?1+?2的泊松分布. (5分) P(X1?k,X1?X2?n)P(X?k|Z?n)?P(X?k|X?X?n)?（2） 1112P(X1?X2?n)P(X1?k)P(X2?n?k)?, P(X1?X2?n)由于Z?X1?X2服从参数为?1+?2的泊松分布, 所以 ?k1P(X1?k|X1?X2?n)?ke?(?1??2)k!(n?k)! n(?1??2)?(?1??2)en!n?ke??1??n2?ke??2?1??n????????k?????????12???1??1???????12??, k?0,1,,n. 因此，Z?n的条件下, X1~B(n,p), 即参数为n,p?
?1的二项分布. (5分) ?1??2第 6 页 共 6 页
2024年宁波大学海洋学院硕士自命题科目真题743农学基础数学
