1
关于实数完备性相关定理等价性的研究
摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。
关键词：实数集 完备性 基本定理 等价性 证明
Research about the equivalence theorems of completeness of
real numbers
Abstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about supremum and form a ideal proof “loop”.
Key words: set of real numbers， completeness， fundamental theorem，equivalence， proof.
引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本
定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。
1实数完备性相关定理的论证
且对于任意x?S，只要x?S1,就有x??0?0.?1。一般的，考察数集Sn?1中的元素的无限小数表示中第n位小数的数字，令它们中的最大者为
?n，并记
Sn??xx?Sn?1并且x的第n位小数为?n?。显然Sn也不为空集，并且对于任意x?S,只要
不断的做下去，我们得到一列非空数集x?Sn，就有x??0?0.?1?2??n。S?S0?S1???Sn??，和一列数?0,?1,?2,?,?n,?，满足
?0?Z; ?k??0,1,2,?,9?,k?N?。令?=?0+0.?1?2??n?,
1
令?=?0+0.?1?2??n?,下面我们分两步证明?就是S的上确界。
（1） 设S，则或者存在整数n0?0，使得x?Sn0，或者对任何整数n?0有x?Sn. 若x?Sn0，便有x??0?0.?1?2??n0??；
若x?Sn??n?N?，由Sn的定义并逐个比较x与?的整数部分及每一位小数， 即知x??，所以对任意的x??，有x??，即?是数集S的上界。
1??，取x0?Sn0，则?n0101与x0的整数部分及前n0位的小数是相同的，所以??x0?n??，即任何小于?的数
100(2)对于任意给定的??0，只要将自然数n0取得充分大，便有
???不是数集S的上界。即?是数集S的上确界。
同理可证非空有下界的数集必有下确界。
1.2 确界存在定理证明单调有界定理
单调有界定理：间调有界实数列必有极限。
单调有界定理还可描述为：若{xn}?R是单调增加的有界数列，则必有极限，且
limxn?sup{xn}。
n??若{xn}?R是单调减少的有界数列，则必有极限，且limxn?inf{xn}。
n??若{xn}?R是一单调增加的无界数列，则规定limxn=??,否则若{xn}?R是一单
n??调减少的无界数列，则规定limxn= ??,
n??证明：设数列{xn}是单调增加的，即x1?x2???xn??，且?M，使得xi?M, i=1,2,
?。?{xn}是非空的有界实数集，由确界存在定理知，{xn}有上确界，记为?：
?=sup{xn}。由上确界的等价定义1知，?xi?{xi}，i=1,2, ?,有xi??成立；并
n?N?且对???0,?N，使得????xN,故当n>N时，由{xn}的单增性知：????xN?xn，
?????xN?xn??????，即xn????，由极限的定义得：
limxn???sup{xn}。
n??n?N?若{xn}是单调下降的，可用上面类似的方法证明。
2
且有sup{an}=?=inf{bn}，n=1,2, ?，即?属于所有的闭区间[an,bn]。 ?an???bn，若??也属于所有的闭区间[an,bn]，则同样可得：an???bn，n=1,2, ?，当n??时，由极限的夹逼性得，??limbn?liman??，由此即说明了区间套的公共点是
n??n??惟一的。
1.4 区间套定理证明有限覆盖定理
有限覆盖定理：设H为闭区间?a,b?的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖?a,b?。
证明：（反证法）假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开覆盖?a,b?将?a,b?等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，
?a1,b1?则?a1,b1???a,b?且b1?a1?1(b?a)2记这个子区间为
再将?a1,b1?等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为?a2,b2?则?a2,b2???a1,b1?且b2?a2?1(b?a)22．
??an,bn??，它满足重复上述步骤并
?an,bn???an?1,bn?1? n=1,2,3, ?
1bn?an?n(b?a)?0n??2
即??an,bn??是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。 由区间套定理，?唯一的一点???an,bn?，n=1,2，?由于H是?a,b?的一个开
覆盖，故存在开区间?a,b??H设????,??于是，存在n,当n充分大时,有
?an,bn????,??这表明?an,bn?只须用H中的一个开区间??,??就能覆盖，与挑选
?an,bn?时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而证明必存在属于H的有限个开区间能覆盖?an,bn?
1.5有限覆盖定理证明聚点定理
聚点定义：设S为数轴上的点集，?为定点（它属于S，也可不属于S），若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点。 同时聚点同时具有下述定义：
定义1：对于点集S，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点
??(?,?)?s??，则称?为S的聚点
定义2：若存在各项互异的收敛数列聚点。
聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点 证： 因S为有限点集，故存在M>0，使得S???M,M?记
3
xn?xn??S,则其极限limn????称为S的一个
?a1,b1????M,M?
现将?a1,b1?等分为两个区间，因S为无限点集，故两个点集中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子集为
?a2,b2?则?a1,b1???a2,b2?且b2?a2?1(b1?a1)?M再将?a2,b2?2等分为两个子区
间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记?a3,b3?则?a2,b2???a3,b3?且b3?a3?1(b2?a2)?M22 为
如此下去，得到一区间列??an,bn??且满足
?an,bn???an?1,bn?1?,n?1,2,?,bn?an?即??an,bn??是区间套，且其中每一个区间都含有S中无穷多个点 又区间套定理?唯一的一点???an,bn?,n?1,2,?,
于是有论：
对???0?N?0当n?N时有?an,bn???(?,?),从而?(?,?)内含有S中无穷多个点，按定义2，?为S的一个聚点。 1.6聚点定理证明致密性定理
致密性定理：任何有界数列必有收敛的子序列。 证明：不妨设｛xn｝是有界数列，
(1)若???{xn} ，且?在｛xn｝中出现无限次，则由这些项构成的数列就是｛xn｝的一个收敛子列，其极限就是?；
(2)若任何一个数在｛xn｝中至多出次有限次，于是｛xn｝中无穷多个互不相同的项。从而由这无穷多个互不相同的子项构成了子集就是有界无穷点集，由聚点定理知必存在聚点?，由聚点的定义知，其任意邻域内都含有无穷多项，现考察它
1的U(?;1)邻域，首先在(??1,??1)中取一项，记作xn1，又因为在(??1中含2,??2)｛xn｝中的无穷多项，故可在其中下标大于n1的一项，记作xn2，?，当
xnkM?0(n??)n?22
11取定之后中，同样由于在(??k1中仍含有｛xn｝的无穷?(??1?1,??k?1)k,??k)多项，故可取下标大于nk的一项，记作xnk??k?1，从而得xnk???1k,k?1,2?，从而
由极限的定义得，limxnk??，?{xnk}为{xn}的收敛子序列。
1.7致密性定理证明柯西收敛准则
柯西收敛准则：数列｛xn｝?R收敛的充要条件是： ??>0，?N∈N+, ?n,m>N有|xn–xm| < ?。
柯西收敛准则（必要性部分）：数列｛xn｝?R收敛则对??>0，?N∈N+, ?n,m>N有|xn–xm| < ?。
证明：?数列｛xn｝收敛，不妨设其极限值为a，即limxn?a，则由数项极限收
n??敛的定义知，??>0，?N,?n,m>N时，有|xn–a|
22式得，|xn–xm|＝|(xn–a)-(xm-a)|≤|xn–a|+|xm–a|＜?+?=?;
22
4
关于实数完备性相关定理等价性的的研1
