第八章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
本章意图 本章分析线性电路在非正弦周期函数激励下的稳态响应。首先介绍非正弦周期电流电路的基本概念，然后介绍非正弦周期电流电路的分析计算方法。主要内容有：周期函数分解为傅里叶级数；非正弦周期电流、电压的频谱；非正弦周期电流、电压的有效值、平均值和平均功率；非正弦周期电流电路的分析计算方法——谐波分析法；电力系统中对称三相电路的高次谐波；傅里叶级数的指数形式及其相应的频谱；傅里叶积分及傅里叶变换。
第一节 内容提要
一、周期函数的傅里叶级数形式
周期为T的函数f ( t ) 如果满足狄里赫利条件，则可以展开成级数形式 f ( t ) = a0+( a1cos?t + b1sin?t )+ ( a2cos2?t + b2sin2? t ) + … +( akcosk?t + bksink?t ) + … = a0+ =A0 +上式中角频率?=
k=1???( akcos k?t + bksin k?t )
k=1?Aksin(k?t+?k)
2?。以上无穷三角级数称为傅里叶级数。a0、ak、bk称为傅里叶系数。 T比较以上两种级数形式，不难得出 A0= a0
2 Ak=a2k?bk
a ?k= arctg k
bk式中，常数项A0称为 f ( t )的直流分量；A1sin(?t+?1)称为 f ( t )的一次谐波分量或基波分量；A2sin(2?t+?2)称为 f ( t )的二次谐波分量；A3sin(3?t+?3)称为 f ( t )的三次谐波分量?。二次及二次以上的谐波分量称为高次谐波。习惯上将k为奇数的分量称为奇次谐波，将k为偶数的分量称为偶次谐波。
二、非正弦周期电流、电压的有效值、平均值 1、有效值
周期电流有效值的定义式为
1T2idt ?0T对于求非正弦周期电流的有效值上述定义式仍然是实用的。设有一个非正弦周期电流i ( t )
I=
的傅里叶级数展开式为
i(t)=I0+I1msin(?t+?1) +I2msin(?t+?2) +I3msin(?t+?3)+ … 将该式代入电流有效值的定义式 I = =
1T2I0?I1msin(?t??1)?I2msin(2?t+?2)?I3msin(3?t+?3)?…?dt ??T0I202?I1?I222?I3?… =
I2022I1mI2I3m2m????… 22222U1mU2U3m2m????… 222同理可以求出电压有效值 U =
U202?U1?U222?U3?…=
U20 2、平均值
1Tf(t)dt，这就是傅里叶系数a0
T?0或者A0，也这就是非正弦周期函数的直流分量。以上平均值称为实际平均值。
在电工技术和电子技术中，为了描述交流电压、电流经过整流后的特性，将平均值定义为取绝对值之后的平均值。以电流为例
1T IaV =?f(t)dt
T0设正弦电流i ( t )= Imsin?t，则Imsin?t就是i ( t )全波整流后的波形。
由平均值的概念，一个周期函数f ( t )的平均值为
T1T22Isin?tdt=Isin?tdt mm??0T0TT2I2I =m(?cos?t)02= m=0.637 Im=0.898 I
?t?这种平均值称为绝对平均值。
三、非正弦周期电流与电压的测量 1、磁电式仪表
1T 磁电式仪表的指针偏转角正比于周期函数的平均值?f(t)dt，用它测出的是电流或
T0电压的直流分量，故测量直流电流或电压就用这种仪表。 2、整流式仪表
整流式仪表的指针偏转角正比于周期函数绝对值的平均值，但是在制造仪表时已经把它的刻度校准为正弦波的有效值，即全部刻度都扩大了1.11倍，故用它测出的是电流或电压是有效值。
3、电磁式仪表、电动式仪表
电磁式仪表或电动式仪表的指针偏转角正比于周期函数的有效值，故用它测出的是电流或电压是有效值。这两种仪表既可以测量交流也可以测量直流。 四、非正弦周期电流电路的平均功率
IaV =
1T1T=p(t)dtu(t)i(t)dt
T?0T?0将电压和电流的傅里叶级展开式代入上式
1T P=?u(t)i(t)dt = U0I0+U1I1cos?1+ U2I2cos?2+ … +UkIkcos?k+ …
T0 =P0+P1+P2+ … +Pk+ … 上式中的Uk、Ik 分别是第k次电压电流谐波分量的有效值，?k 是第k次电压电流谐波分
由平均功率的定义：P=
量的相位差，Pk是第k次谐波分量的平均功率。
由上述分析结果表明只有同频率的电压、电流谐波分量才构成平均功率，不同频率的电压、电流谐波分量不构成平均功率；非正弦周期电流电路的平均功率等于各次谐波平均功率之和。
五、非正弦周期电流电路的分析计算
1、 一般非正弦周期电流电路的计算步骤
（1）将非正弦激励展开成为傅里叶级数。即将非正弦函数展开成为直流分量和各次谐波分量之和。
（2）分别计算直流分量和各次谐波分量作用于电路时各条支路的响应。当直流分量作用于电路时，采用直流稳态电路的计算方法；当各次谐波分量作用于电路时，采用交流稳态电路的计算方法——相量法。
（3）运用叠加原理，将属于同一条支路的直流分量和各次谐波分量作用产生的响应叠加在一起，这就是非正弦激励在该支路产生的响应。 2、应注意的问题
由于非正弦周期电流电路具有其特殊性，在电路计算时应注意以下问题：
（1）当直流分量作用于电路时，电路中的电感相当于短路，电路中的电容相当于开路。
（2）电感和电容对于不同的谐波呈现不同的电抗值，对于k次谐波呈现的感抗值为k?L；对于k次谐波呈现的容抗值为
1。这就是说，随着谐波频率的升高，感抗值增k?c大，容抗值减小。
（3）在含有电感L、电容C的电路中，可能对于某一频率的谐波分量发生串联谐振或并联谐振，计算过程中应注意。 六、对称三相非正弦电路分析 1、对称三相非正弦电压的特征
仅含奇次谐波的对称三相非正弦电压，其展开式为
uA = U1m sin(?t +?1) + U3m sin(3?t +?3) + U5m sin(5?t +?5) + U7m sin(7?t +?7 )+ …
2?4?+?1) + U3m sin(3?t +?3) + U5m sin(5?t - +?5) + 332? U7m sin(7?t - +?7) + …
3 uB = U1m sin(?t -
电路_第八章非正弦周期电流电路和信号的频谱习题及解答
