专题05 一元二次方程与化简求值
【达标要求】
1. 要掌握一元二次方程根与系数的关系式及相应的变形式； 2. 会利用根于系数关系式进行相关的化简求值；
【知识梳理】
知识点一 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1. 关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)，称??b2?4ac为一元二次方程的根的判别式，当
2??b2?4ac?0时，方程有两个不相等的实数根；当??b2?4ac?0时，
方程有两个相等的实数根；当??b2?4ac?0时，方程没有实数根. 2. 一元二次方程的根与系数的关系：
若关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个实数根x1，x2，
2则x1?x2??bc,x1x2?. aa
【精练精解】
1.关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2=5，则m的值为（ A．
）
7 4 B．
7 5 C．
7 6 D．0
【答案】A
【解析】∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=
1， 2 1
把x2=
1117代入x2﹣4x+m=0得：（）2﹣4×+m=0，解得：m=， 2224故选A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣
bc，x1?x2=是解题的关键． aa2.关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2
＝﹣3，则k的值（ ） A．0或2
B．﹣2或2
C．﹣2
D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3， ∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3， 解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根， ∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0， 解得：k≥22﹣1或k≤﹣22﹣1， ∴k＝2． 故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．
2
3.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A．12
B．10
C．4
D．﹣4
【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12； 故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
4.已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ） A．2023
B．2021
C．2020
D．2019
【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）
2﹣2ab+2016
即可求解；
【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023； 故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题
的关键．
5.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A．12
B．10 C．4 D．﹣4
3
【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12； 故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
6.若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（ ） A．﹣2 B．6 【答案】D
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣3，x12+x1＝3，
∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17 ＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2 ＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4， 故选：D．
C．﹣4 D．4
27.设x1、x2是方程5x?3x?2?0的两个实数根，则
11?的值为 ． x1x2【答案】?
3 24
2【解析】∵方程x1、x2是方程5x?3x?2?0的两个实数根，
∴x1?x2?32，x1x2??， 55∴
11x1?x2323?==?(?)=?． x1x2x1x2552故答案为：?3． 28.设x1，x2是一元二次方程x2–x–1=0的两根，则x1+x2+x1x2=__________．
【答案】0
【解析】∵x1、x2是方程x2–x–1=0的两根，∴x1+x2=1，x1x2=–1，∴x1+x2+x1x2=1–1=0．故答案为：0． x2，【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，则x1+x2=–
bc，x1?x2=． aa9.已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2， ∴2k2+1+3k+1+1＝8k2， 整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
1．，k2＝1． 25
解得：k1＝﹣
专题05 一元二次方程与化简求值-2020年中考数学高频重点专题突破精练精解（解析版）
