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试题类型：新课标Ⅲ
2024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题及参考答案
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合A?{(x,y)x,y?N?,y?x}，B?{(x,y)x?y?8}，则A?B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C 【解析】A2．复数
B中的元素可以为?1,7?,?2,6?,?3,5?,?4,4?
1的虚部是( ) 1?3i3113 B．? C． D． 10101010A．?【答案】D 【解析】
11?3i3，故虚部为 ?1?3i10104i?13．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且?pi?1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．p1?p4?0.1,p2?p3?0.4 B．p1?p4?0.4,p2?p3?0.1 C．p1?p4?0.2,p2?p3?0.3 D．p1?p4?0.3,p2?p3?0.2
【答案】B
【解析】易知x?2.5，xi?x分别等于1.5，0.5，0.5，1.5，平方后分别乘以对应概率，可以直接看
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出B最大
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)?K1?e?0.23?t?53?，其中K为最大确
诊病例数．当I(t?)?0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19?3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C 【解析】0.95K?故e?0.23?t?53?K1?e?0.23?t?53?，1?e?0.23?t?53??110020 ??0.959519?11，?0.23?t?53??ln??ln19??3，故t?66 19195．设O为坐标原点，直线x?2与抛物线C:y2?2px(p?0)交于D,E两点，若OD?OE，则C的焦点坐标为( )
11A．(,0) B．(,0) C．(1,0) D．(2,0)
42【答案】B
【解析】易知D2,2p,E2,?2p，易知OD?OE，故2?2p，即6．已知向量a,b满足a?5,b?6,a?b??6,则cos?a,a?b??( )
A．?????p1? 2213191719 B．? C． D． 35353535【答案】D
【解析】cos?a,a?b??7．在?ABC中，cosC?aa?b?aa?b??25?65?25?36?12?19 352，AC?4，BC?3，则cosB?( ) 31112A． B． C． D．
9323【答案】A
【解析】c2?9?16?2?3?4?2?9，故c?3 3cosB?9?9?161?
2?3?398．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
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22
2A．6+42 B．4+42 C．6+23 D．4+23 【答案】C
【解析】该几何体的直观图如图所示，其中AB?AC?AD?2，且互相垂直，易知面积为
21332)
S?3??2?2??22(其中正三角形的面积为a244??B
CDA???9．已知2tan??tan?????7，则tan??( )
4??A．?2 B．?1 C．1 D．2 【答案】D
??tan??1??7，然后可以直接解关于tan?的一元二次方程或者【解析】2tan??tan?????2tan??4?1?tan??带答案
110．若直线l与曲线y?x和圆x2?y2?都相切，则直线l的方程为( )
5A．y?2x?1 B．y?2x?【答案】D
1111 C．y?x?1 D．y?x? 22225【解析】作为一个选择题，先从直线与圆相切入手，圆心?0,0?到直线的距离等于半径，易知
5??y?xAD满足，BC不满足，排除BC，然后联立?，得2x?x?1?0，无解，排除A
??y?2x?1x2y211．设双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为5，P是C上一点，
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且F1P?F2P，若?PF1F2的面积为4，则a?( )
A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A
【解析】用双曲线焦点三角形面积公式可得
S?PF1F2?b2tan?2?b2?4，则a2?1
12．已知55?84，134?85，设a?log53，b?log85，c?log138，则( )
A．a?b?c B．b?a?c C．b?c?a D．c?a?b 【答案】A
【解析】比较b和c的大小
45455?84，故log85?log88，即log85?
545同理134?85，故log1313?log138，即log138?4，故b?c 5比较a和b的大小
?log53?log58???log524??1，故a?b alog53法一：??log53?log58?blog8544法二：由b和c大小比较猜想a和b大小比较的中间值是
33则log53??log53?log554?log5434?log5453?0
433log85??log85?log884?log8454?log8483?0
4223(或者通过二分法确定) 4故a?b
法三：糖水不等式
5ln33?ln5?ln5?log5 log53??8ln5525ln8ln5?lnln33ln3?ln824lnln35?5?ln5?log5?或者log53?8故a?b ln58ln8ln8ln5?ln5ln3?ln(可以用类似方法比较出a?c)
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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
?x?y?0?13．若x，y满足约束条件?2x?y?0，则z?3x?2y的最大值为_________．
?x?1?【答案】7
【解析】分别解出交点为?0,0?,?1,2?,?1,?1?，易知点?1,2?代入目标函数取得最大值为7，最后将?1,2?代入第一条直线，满足
214．(x2?)6的展开式中常数项是_________(用数字作答)．
x【答案】240 【解析】Cr6?x?26?r12?2r?2?4rx?24?240 ?2r，易知r?4，故常数项为C6?x??C6rx??r15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】
2
?3【解析】由几何体内切球半径公式V?Sr(其中V为几何体的体积，S为几何体的表面积)可得
13?2?4211222?? ，故体积为???????1??22????1???3?1?r，故r???2?33332??16．关于函数f(x)?sinx?31有如下四个命题： sinx①f(x)的图像关于y轴对称． ②f(x)的图像关于原点对称． ③f(x)的图像关于直线x?④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是_________． 【答案】②③
【解析】易知f?x?为奇函数，故①错②对；
?2对称．
f???x??sin???x??1sin???x??sinx?1?f?x?，故f?x?关于x??对称，③对 sinx22024年高考数学全国3卷理科 第5页
2024年全国卷3理科数学试题及参考答案(mathtype word精编版)
