§2.1两角和与差的三角函数（一）
一、教学目标： 1.知识与技能
（1）能够利用向量方法，推导两角差的余弦公式。
（2）能够结合诱导公式，利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，两角和、差的正弦公式。
（3）能够运用两角和、差的正、余弦公式进行化简、求值、证明。 2.过程与方法
利用向量方法证明两角差的余弦公式，进一步体会向量作为处理问题的工具的作用；利用诱导公式推导得到两角和的余弦公式，两角和、差的正弦公式，进一步熟悉利用三角函数相关公式进行公式的变换。 3.情感、态度与价值观
通过本节课内容，引发学生学习数学的兴趣，建立数学知识间的联系，提高学生的思维能力。 二、教材分析：
两角和、差的正、余弦公式作为三角函数的进一步学习，更加完善了三角函数的相关运算，而推导两角差的余弦公式，既是得到其他公式的基本公式，又是本节课学习的重点内容。而本节课的学习中又同时涉及到向量、诱导公式等其它知识的复习及结合。 三、重点和难点
重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其推导。 难点：利用向量推导公式；运用公式进行求值，化简。 四、教学方法与手段
启发引导，合作交流 五、教学过程： [复习引入]
上节课我们学习了任意角?的三角函数的基本关系式，请同学们回顾下基本关系式都有哪些？（提问学生）
我们学习过30?,45?,60?这样的特殊角三角函数值，而像15?,75?这样的我们
不熟悉。但15?可以表示成45??30?或60??45?，75?可以表示成30??45?这样特殊的两角和、差的形式，那么15?,75?的正余弦值和30?,45?,60?的正余弦值，有什么样的关系呢？
因此我们这节课就来学习任意两个角?,?，它们的和与差的三角函数值与
?,?的三角函数值之间存在着怎样的关系。 [新课讲授]
向量的主要作用之一是讨论几何度量问题。两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值，因此我们借助于这一关系来研究。
（画一个平面直角坐标系及单位圆）
以x轴非负半轴为起始边，逆时针分别作?,?（???），假设它们都是锐角，
P2(cos?,sin?)。它们的终边分别交于单位圆P请同学们指出???1(cos?,sin?)，
是哪个角？（提问学生）
P刚复习了单位向量的数量积1,P2点可分别表示从原点引出的向量OP1,OP2。
就等于它们之间夹角的余弦值，现在回想下数量积有几种表示？（提问学生）由此我们可以得到：
OP1?OP2=|OP1|?|OP2|cos(???) OP1?OP2=cos?cos?+sin?sin?
所以cos(???)?cos??cos??sin??sin?，这就是两角差的余弦公式，可以记做C???。
由于规定了?,?都是锐角，大家现在讨论下：借于刚才的证明过程，?,?是任意角的话，可否得到这个公式？（学生分组讨论）
（讨论结束，提问学生）
既然我们已经得到了???的余弦公式，那么???的余弦公式如何得到？
???，???的正弦公式呢？（思考后，引导回答）
我们可以借助诱导公式来证明
cos(???)?cos[??(??)]?cos?cos(??)?sin?sin(??)
?cos?cos??sin?sin? 请同学们跟老师共同证明下???的正弦公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?
同学们自己证明下sin(???)?sin?cos??cos?sin?（提问学生完成） 这样我们就完成了我们这节课所学的全部公式。请同学们仔细观察，这四个公式各自的特点，好有利于我们记住它们。（思考，提问学生）
公式记住了，那我们就来看看如何来用它们吧。 [例题]
例1：求cos75?,cos15?的值
解：cos75??cos(45??30?)?cos45?cos30??sin45?sin30? ?23216?2???? 22224cos15??cos(45??30?)?cos45?cos30??sin45?sin30?
?23216?2???? 222244?53?例2：已知sin??,??(,?)，求cos(???),cos(???) cos???,??(?,)，
521324?3解：由sin??,??(,?)得，cos???
52553?12由cos???,??(?,)得，sin???
1321333所以cos(???)?cos??cos??sin??sin???
6563 cos(???)?cos?cos??sin?sin?=?
65例3：求f(x)?sinx?3cosx的最大值和周期
13???cosx)?2(cossinx?sincosx)?2sin(x?) 解：f(x)?2(sinx?22333
2024-2024学年高一数学北师大版必修4第三章3.2两角和与差的三角函数(一) 教案
