第九章 二重积分
【本章逻辑框架】 在直角坐标系中二重积分的计算 【本章学习目标】 二重积分的计算 二重积分的概念与性质 二重积分的应用 在极坐标系中二重积分的计算 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 二重积分的概念与性质
【学习方法导引】
1．二重积分定义
为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域??1,??2,L,??n的分法要任意，二是在每个小区域??i上的点(?i,?i)???i的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值??0时总有同一个极限，才能称二元函数f(x,y)在区域D上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D上f(x,y)≥0，则??f(x,y)d?表示以区域D为底，以
Df(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当f(x,y)＝1时，??f(x,y)d?D表示平面区域D的面积。
(2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分??f(x,y)d?的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
D(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则??f(x,y)d?表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和
D(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数
f(x,y)在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小
值，再应用估值不等式得到取值范围。
【主要概念梳理】
1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.
分割 用任意两组曲线分割D成n个小区域??1,??2,L,??n，同时用??i表示它们的面积，i?1,2,L,n.其中任意两小块??i和??j(i?j)除边界外无公共点。??i既表示第i小块,又表示第i小块的面积. 近似、求和 对任意点(?i,?i)???i ,作和式?f(?i,?i)??i.
i?1n取极限 若?i为??i的直径，记??max{?1,?2,L,?n},若极限
lim?f(?i,?i)??i
??0i?1n存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点(?i,?i)的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为
称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，d?为面积微元(或面积元素).
2.二重积分
??f(x,y)d?的几何意义
D(1) 若在D上f(x,y)≥0，则??f(x,y)d?表示以区域D为底，以f(x,y)
D为曲顶的曲顶柱体的体积.
(2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分??f(x,y)d? 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
D(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则??f(x,y)d?表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即
D在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
3．二重积分的存在定理
若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).
若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积.
4．二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.
性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 性质3 若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则
性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则
性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 推论
??f(x,y)d????DDf(x,y)d?.
性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则
性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点(?,?),使
【基本问题导引】
根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：
1．??a2dxdy? ，其中D?{(x,y)|x2?y2?a2}
D2．设D是由x轴，y轴与直线x?y?1所围成的区域，则
I1???(x?y)2d?,I2???(x?y)3d?的大小关系
DD是 .
【巩固拓展提高】
1．若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D的任一子区域D*上有??f(x,y)d??0，试证明在D内恒有f(x,y)＝0
D*2．估计I???(x?xy?x2?y2)dxdy的值，其中D?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}.
D3．设f(x,y)是有界闭区域D：x2?y2?a2上的连续函数，则
lim1a?0?a2??f(x,y)dxdy的值为多少？
D【数学思想方法】
二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
在直角坐标系中二重积分的计算
【学习方法导引】
本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似
??1(x)?y??2(x)??1(y)?x??2(y)或?的形式来表示，则我们可以将D?a?x?bc?y?d??分成若干块，并由积分性质 对右端各式进行计算。
(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积
高等数学重积分总结
