2021年中考学霸必刷压轴题几何最值第三讲阿氏圆问题
中考真题试题解析
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． “阿氏圆”解题一般步骤:
(1)连接动点 P 至圆心 O(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接 OP，OB;
(2)计算出所连接的这两条线段 OP，OB 的长度; (3)计算这两条线段长度的比 OP/OB= k;
(4)在 OB 上取点 C，使得 OC/OP=OP/OB ，即:半径的平方 = 原有的线段 × 构造线段; (5)连接 AC 与圆 O 的交点即为点 P．
2
要点：如图5，构造△PAB∽△CAP，得到PA=AB·AC，即：半径的平方=原有线段 × 构造线段
口决：路径成最短，折线变直线
中考真题试题解析
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 ．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则
PDPC的最大值为 ．
1
二．解答题（共1小题）
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位
置时，PCPA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
2021年中考学霸必刷压轴题几何最值第三讲阿氏圆问题中考
真题试题解析
一．填空题（共2小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 12
．
【专题】推理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力． 【解答】解：如图，在CA上截取CM，使CM＝4，连接DM，BM，
∵CD＝6，CM＝4，CA＝9， ∴CD2＝CM?CA，
∴，
∵∠DCM＝∠ACD， ∴△DCM∽△ACD，
∴，
∴DMAD，
3
∴AD+BD＝DM+BD，
∵DM+BD≥BM，
在Rt△CBM中，∵∠CMB＝90°，CM＝4，BC＝12， ∴BM
4
，
∴AD+BD≥4，
∴AD+BD的最小值为4， ．
∴2AD+3BD的最小值是12故答案为：12
．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则
PDPC的最大值为 5 ．
【专题】几何图形．
【解答】解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵
2，2，
4
∴，
∵∠PBG＝∠PBC， ∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PGPC，
当点P在DG的延长线上时，PD故答案为：5
二．解答题（共1小题）
PC的值最大，最大值为DG5．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位
置时，PCPA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【专题】代数几何综合题；数形结合；转化思想；构造法；面积法；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；图形的相似． 【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5 ∴C（0，5）
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九年级数学中考复习专题 最值系列阿氏圆问题
