15.直三棱柱棱柱【答案】【解析】 【分析】 由题意，B【详解】由题意，∴三棱柱ABC﹣故答案为
．
中，，，，直线与平面所成角等于，则三
的侧面积为__________．
，∠面
＝60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣B
）×1
，∠
＝60°，∴，
，B
的侧面积． ，∴AB
，
的侧面积为（2
【点睛】本题考查三棱柱的侧面积，线面位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 16.若实数，，满足【答案】1 【解析】 【分析】
（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，可得a＝2b+1，a＝c+lnc.，得
,故|b﹣c|
，
，则
的最小值是__________．
令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可求解． 【详解】∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，∴a＝2b+1，a＝c+lnc． ∴2b+1＝c+lnc， ∴b∴|b﹣c|
．
，
令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0）， f′（c）＝1
，当c>1, f′（c）>0;0 可得：c＝1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）＝2＞0． ∴|b﹣c|故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程的解法，考查了推理能力 1， 与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分. 17.已知函数数 图象的一个最高点.，，分别为 . （Ⅰ）求函数（Ⅱ）将函数象，求函数【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】 （Ⅰ）由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间． 【详解】（Ⅰ）由题意得整理得：中点易得（Ⅱ）函数 ，即，即 ，所以， 且=6,故，又 ，所以. ， ， . . ，由正弦定理得.在 中，易知 ， ，取 的解析式； 的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的单调递减区间. ； （Ⅱ） . 的图 的图象与轴的两个相邻交点是的三个内角，，的对边，满足 ， ，是函 图像向左平移1个单位，得 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得由所以函数 单调递减区间为 ，解得 【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A．还考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题． 18.为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动.“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选 择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念. 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下： 人数 次数 年龄 18岁至31岁 32岁至44岁 45岁至59岁 60岁及以上 联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人. 用样本估计总体的思想，解决如下问题： （Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数； （Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？ 0.001 8 12 25 25 12 28 50 10 20 20 80 10 60 140 100 18 140 60 225 5 150 150 450 2 【答案】（Ⅰ）关. 【解析】 【分析】 10.828 ； （Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有 （Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数 据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论． 【详解】（Ⅰ）估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数为 （Ⅱ）根据题意，得出如下 青年人 非青年人 总计 列联表 非骑行爱好者 100 200 300 总计 800 1000 1800 . 骑行爱好者 700 800 1500 根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关. 【点睛】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据列出列联表，准确计算是关键，是中档题 19.已知空间几何体面 平面 ，平面 中， 平面 与 . 均为边长为的等边三角形， 为腰长为的等腰三角形，平 （Ⅰ）试在平面明； （Ⅱ）求三棱锥 内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证 的体积. . 【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ） 【解析】 分析：第一问注意到任意直线都与平面是平行的，从而想到应该是线所在的平面与对应平面是平行的，再结合题中所给的条件，求得结果，第二问结合题中的条件，求出与三棱锥的体积相关的量，最后代入体积公式求得结果. 详解：( Ⅰ )如图所示,取 DC 中点 N ,取 BD 中点 M ,连结 MN ,则 MN 即为所求 证明:取 BC 中点 H ,连结 AH , ∵ ΔABC 为腰长为 3 的等腰三角形,H 为 BC 中点, ∴ AH ⊥ BC ,又平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,平面 ABC ∩ 平面 BCD = BC , AH ? 平面 ABC , ∴ AH ⊥ 平面 BCD ,同理可证 EN ⊥ 平面 BCD , ∴ EN∥ AH , ∵ EN ? 平 面 ABC , AH ? 平 面 ABC , ∴ EN ∥ 平 面ABC . 又 M , N 分别为 BD , DC 中点, ∴ MN ∥ BC , ∵ MN ? 平面 ABC , BC ? 平 面 EMN , ∴ MN ∥ 平 面ABC . 又 MN ∩ EN = N , MN ? 平面 EMN ,EN ? 平面 EMN , ∴ 平面 EMN ∥ 平面 ABC , 又 EF ? 平面 EMN , ∴ EF ∥ 平面 ABC . ( Ⅱ )连结 DH ,取 CH 中点 G ,连结 NG ,则 NG ∥ DH , 由( Ⅰ)可知 EN ∥ 平面 ABC , 所以点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等 . 又 ΔBCD 是边长为 2 的等边三角形, ∴ DH ⊥ BC , 又平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,平面 ABC ∩ 平面 BCD = BC , DH ? 平面 BCD , ∴ DH ⊥ 平面 ABC , ∴ NG ⊥ 平面 ABC , ∴ DH = ,又 N 为 CD 中点, ∴ NG = , 又 AC = AB =3 ,BC =2 , ∴ S ΔABC = ·BC·AH =2∴ VE - ABC = VN - ABC = ·S ΔABC · | NG |=注:本题用空间向量做同样给分 点睛：该题考查的是有关空间的线线、线面、面面的平行垂直关系，要求对这些定理的条件都得熟记，并且能够将问题转化，再者，在计算三棱锥的体积时，对应的高线在求解时，需要做的垂线必须借助于垂
福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学(文)试题(解析版)
