25．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．
（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP
（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）． 【考点】三角形综合题．
【分析】（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，即可；
（2）先利用互余判断出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可； （3）利用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，判断出∠AFB=90°即可． 【解答】（1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6∴cos∠BAD=∴AB=
∴AC=AB=12，
∵点P、M分别为BC、AB边的中点， ∴PM=AC=6， （2）如图2，
， =
=12，
，
在ED上截取EQ=PD， ∵∠ADB=90°， ∴∠BDP+∠ADE=90°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED，
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∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE， ∴∠AEC=∠ADB=90° ∵∠AED+∠PEC=90°， ∴∠BDP=∠PEC， 在△BDP和△CEQ中，
，
∴△BDP≌△CEQ， ∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，∴∠EPC=∠PQC， ∴PC=CQ， ∴BP=CP
（3）BF2+FC2=2AD2， 理由：如图3，
连接AF，∵EF⊥AC，且AE=EC， ∴FA=FC，∠FAC=∠FCA， ∵EF⊥AC，且AE=EC， ∴∠DAC=∠DCA，DA=DC， ∵AD=BD， ∴BD=DC， ∴∠DBC=∠DCB，
∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA， ∴∠DAF=∠DCB， ∴∠DAF=∠DBC， ∴∠AFB=∠ADB=90°， 在RT△ADB中，DA=DB， ∴AB2=2AD2，
在RT△ABB中，BF2+FA2=AB2=2AD2，
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∵FA=FC ∴BF+FC=2AD．
26．已知如图1，抛物线y=﹣x﹣x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC
2
2
2
2
（1）求出直线AD的解析式；
（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=
（点M在点N的
左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；
（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值． 【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求出点A，B坐标，再用待定系数法求出直线AD解析式； （2）先建立S△ADF=﹣（m+）2+即可确定出A2F的解析式为y=﹣
，进而求出F点的坐标，再确定出点M的位置，进而求出点A1，A2坐标，x﹣①，和直线BD解析式为y=﹣x﹣1②，联立方程组即可确定出结论；
（3）分四种情况讨论计算，利用锐角三角函数和勾股定理表示出线段，用相似三角形的性质即可求出PC的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点， ∴0=﹣x﹣x+3， ∴x=2或x=﹣4，
∴A（﹣4，0），B（2，0）， ∵D（0，﹣1），
∴直线AD解析式为y=﹣x﹣1； （2）如图1，
过点F作FH⊥x轴，交AD于H，
设F（m，﹣m2﹣m+3），H（m，﹣m﹣1）， ∴FH=﹣m﹣m+3﹣（﹣m﹣1）=﹣m﹣m+4，
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2
2
2
∴S△ADF=S△AFH+S△DFH=FH×|yD﹣yA|=2FH=2（﹣m2﹣m+4）=﹣m2﹣m+8=﹣（m+）2+当m=﹣时，S△ADF最大， ∴F（﹣，如图2，
作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2=连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移，
）
，
得点M，此时四边形AMNF的周长最小．
∵OB=2，OD=1， ∴tan∠OBD=， ∵AB=6， ∴AK=，
∴AA1=2AK=
，
在Rt△ABK中，AH=，A1H=
，
∴OH=OA﹣AH=， ∴A1（﹣，﹣
），
过A2作A2P⊥A2H， ∴∠A1A2P=∠ABK， ∵A1A2=
，
∴A2P=2，A1P=1， ∴A2（﹣，﹣） ∵F（﹣，
）
∴A2F的解析式为y=﹣
x﹣①，∵B（2，0），D（0，﹣1）， ∴直线BD解析式为y=﹣x﹣1②， 联立①②得，x=﹣， ∴N点的横坐标为：﹣
．
（3）∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣∴CD=4，BC=
，OB=2，
BC边上的高为DH，
1） 第24页（共68页）
根据等面积法得， BC×DH=CD×OB， ∴DH=
=
，
∵A（﹣4，0），C（0，3）， ∴OA=4，OC=3， ∴tan∠ACD=
，
①当PC=PQ时，简图如图1，
过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ， ∵tan∠ACD=
∴设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣6a ∵△PGQ∽△DHQ， ∴
，
∴，
∴a=，
∴PC=5a=
；
②当PC=CQ时，简图如图2，
过点P作PG⊥CD， ∵tan∠ACD=
第25页（共68页）
┃附加五套中考模拟卷┃2018-2019学年重庆一中中考数学二模试卷
