故它的展开式中的常数项是1﹣12＝﹣11， 故答案为：﹣11．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14．（5分）已知数列{an}的首项为3，等比数列{bn}满足的值为 3 ．
【分析】等比数列{bn}满足
，可得lnan+1﹣lnan＝lnbn，利用累加求和方法可得：
＝ln1＝0，即可得出．
，且b1009＝1，则a2024
lna2024﹣lna1＝ln（b1?b2?……b2017）＝ln
【解答】解：等比数列{bn}满足∴lnan+1﹣lnan＝lnbn， ∴lna2024﹣lna2017＝lnb2017， lna2017﹣lna2016＝lnb2016， ……，
lna2﹣lna1＝lnb1，
，
∴lna2024﹣lna1＝ln（b1?b2?……b2017）＝ln∴a2024＝a1＝3． 故答案为：3．
＝ln1＝0，
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、数列递推关系、对数运算性质、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC＝8，则四边形ABCD的面积为 ．
【分析】采用分割法对三角形进行分割，进一步利用余弦定理，勾股定理的逆定理及三
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角形的面积公式求出结果．
【解答】解：如图，连接AC，可得∠DCB＝105°
在△ABC中，由余弦定理得AC＝BC+BA﹣2BCBAcos60°＝48．
∴AB＝AC+BC，∴∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∠DCA＝∠DAC＝15°． ∴
．
∴四边形ABCD的面积为12×故答案为：24﹣4
．
）+8
＝24﹣4
．
tan15°
2
2
2
2
2
2
【点评】本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．
16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且
，
，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成
，1+] ．
，
λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为 [﹣1﹣
【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出λ+μ的最大值和最小值即可． 【解答】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
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设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N， 则△OMN为等腰直角三角形， ∴ON＝∴
＝
，OM＝1， +
，此时λ+μ＝1+＝
+
＝﹣
﹣；
，此时λ+μ＝﹣1﹣
．
；
同理可得：
∴λ+μ的最大值为1+故答案为：[﹣1﹣
，最小值为﹣1﹣，1+
]．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理与应用问题，是中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知函数
（I）求函数f（x）的最小正周期； （II）求函数f（x）在区间
上的最值及相应的x值．
．
【分析】（I）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f（x）的最小正周期；
（II）结合已知条件求出上的最值及相应的x值． 【解答】解：（Ⅰ）
∴f（x）的最小正周期是π；
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，进而可求出函数f（x）在区间
＝＝，
（Ⅱ）∵∴0≤2x≤π， ∴当当
，
，
时，f（x）max＝2． 时，f（x）min＝﹣1．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．
18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3 （1）求证：平面PAB⊥面ABCD （2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．
【分析】（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用线面垂直的判定，可得PO⊥底面ABCD，即可证明结论；
（2）过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN，证明∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角，从而可求二面角O﹣PD﹣C的余弦值． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC＝AB＝2，AD＝3． ∴OC＝
2
，OD＝
2
2
，CD＝，
∵OD＝OC+DC＝10， ∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC， ∴CD⊥PO．
∵PA＝PB＝AB，O为AB中点，
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∴PO⊥AB， ∴PO⊥底面ABCD， ∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥面ABCD…（6分）
（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN． 则由于PO⊥平面OCD，PO?平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM?平面OCD，平面POD∩平面OCD＝OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD， ∵MN⊥PD，MN∩CM＝M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC， 即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角． 在Rt△OCD中，CM＝
＝
，
在Rt△PCD中，CN＝＝，
所以MN＝，所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定是关键．
19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：
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2024年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(理科)
