故答案为：8π
15．抛物线C：y=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B两点，则tan∠AMB= 4
．
2
【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设AB方程y=求出tan∠AMB．
【解答】解：抛物线C：y=4x的焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=y=
（x﹣1），与y=4x联立可得3x﹣10x+3=0
2
2
2
（x﹣1），与抛物线方程y=4x联立，求出A，B的坐标，利用夹角公式
2
（x﹣1），
可得x=或3， ∴A（，﹣∴kAM=﹣
），B（3，2
），
，kBM=
∴tan∠AMB==4．
故答案为：4
．
16．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，Sn+1+（﹣1）Sn=2n，则S100= 198 ． 【考点】数列递推式．
【分析】当n为偶数时，由题意可推出Sn+2+Sn=4n+2，从而可得Sn+4﹣Sn=8，再由a1=2知S2=4，S4=6，再利用累加法求和．
【解答】解：当n为偶数时，Sn+1+Sn=2n，Sn+2﹣Sn+1=2n+2， 故Sn+2+Sn=4n+2，
n
故Sn+4+Sn+2=4（n+2）+2， 故Sn+4﹣Sn=8， 而由a1=2知，S1=2， S2﹣S1=2， 故S2=4，
∵S4+S2=4×2+2=10， ∴S4=6， ∴S8﹣S4=8， S12﹣S8=8， …， S100﹣S96=8，
∴S100=24×8+S4=192+6=198． 故答案为：198．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+（I）求A；
（Ⅱ）若BC边上的中线AM=2【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（I）由和三角函数公式和正弦定理可得cosA=，A=（Ⅱ）可得MH=
2
=．
，高线AH=，求△ABC的面积．
；
，以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建系，由向量的数量积可得a的方
程，解得a=4，a=2，代入三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：（I）∵在△ABC中1+∴∴
=
=
，∴
=
，∴1+==
， ，
=
，
，∴由正弦定理可得
∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=（Ⅱ）由题意和勾股定理可得MH=
；
=
，
以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系， 并设C（a，0），则B（﹣a，0），其中a＞0， 则由题意可得A（又可得
=（﹣a﹣
，
），cos＜），
，=（a﹣）+3=
2
2
＞=cos，﹣
=， ），
?
2
，﹣
由数量积可得（﹣a﹣
4
2
）（a﹣
2
?，
整理可得a﹣20a+64=0，故（a﹣4）（a﹣16）=0，解得a=4或a=16 经验证当a=16时矛盾，应舍去，故a=4，a=2， 故可得△ABC的面积S=?BC?AH=×4×
=2
．
2
2
18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整； 男生 女生 总计
优分 9
非优分 21
总计 30 20 50
11 9 20 30
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？ （Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附： P（K≥k） k K=
2
2
0.100 2.706
0.050 3.841
．
0.010 6.635
0.001 10.828
【考点】频率分布直方图；茎叶图；独立性检验．
【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整，计算观测值k，对照数表得出概率结论； （Ⅱ）利用频率视作概率，得出X服从二项分布，求出对应的概率值． 【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下： 男生 女生 总计
假设H0：该学科成绩与性别无关，
优分 9 11 20
非优分 21 9 30
总计 30 20 50
则K的观测值k=因为3.125＞2.706，
2
==3.125，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关； （Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关， 因此需要将男女生成绩的优分频率f=
=0.4视作概率；
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X， 则X服从二项分布B（3，0.4）， 所求概率P=P（X=2）+P（X=3） =
×0.4×0.6+
2
×0.4
3
=0.352．
19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAB； （Ⅱ）若CE=
，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（I）取AP的中点F，连结DF，EF，由四边形CDFE是平行四边形可转而证明DF⊥平面PAB；
（II）设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，OP，则可证OA，OG，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，求出正弦值等于|cos＜
＞|．
和 平面PDC的法向量，于是直线CE与平面PDC所成角的
【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF． ∵PD=AD，∴DF⊥AP．
2020-2021学年福建省高考数学模拟试卷(理科)及答案解析
