4．1．1 圆的标准方程
课时分层训练
‖层级一‖……………………|学业水平达标|
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)＋(y－3)＝4，则它们的位置关系为( ) A．在圆心 C．在圆内
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B．在圆上 D．在圆外
解析：选C ∵(3－2)＋(2－3)＝2＜4， ∴点P在圆内．
2．圆(x＋1)＋(y－2)＝4的圆心、半径分别是( ) A．(1，－2)，4 C．(－1,2)，4 答案：D
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x＋(y－2)＝1 C．(x－1)＋(y－3)＝1
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B．(1，－2)，2 D．(－1,2)，2
B．x＋(y＋2)＝1 D．x＋(y－3)＝1
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解析：选A 解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知?0－1?＋?b－2?＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x＋(y－2)＝1.
解法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x＋(y－2)＝1.
解法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，故选A.
4．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A．(x－1)＋(y－2)＝10 B．(x－1)＋(y－2)＝100 C．(x－1)＋(y－2)＝5 D．(x－1)＋(y－2)＝25
解析：选D 圆心坐标为(1,2)，半径r＝?5－1?＋?5－2?＝5，故所求圆的方程为(x－1)＋(y－2)＝25.
5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)＋(y＋b)＝1的圆心位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
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解析：选D 由题意得，(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到
a<0，b>0，即－a>0，－b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是 ．
??x－y＋2＝0，
解析：由?
?2x＋y－8＝0，?
??x＝2，
可得?
?y＝4，?
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即圆心为(2,4)，从而r＝?2－0?＋?4－0?
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＝25，故圆的标准方程为(x－2)＋(y－4)＝20.
答案：(x－2)＋(y－4)＝20
7．点(5a＋1，a)在圆(x－1)＋y＝26的内部，则a的取值范围是 ． 解析：由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)＋(a)＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.
答案：[0,1)
8．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是 ．
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离|a＋2×0|
为＝5， 22
1＋2
解得a＝－5，a＝5(舍去)，
∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)＋y＝5. 答案：(x＋5)＋y＝5
9．求经过A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程． 解：解法一：设圆心坐标为(a，b)． ∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x＋(y－b)＝r. ∵该圆过A，B两点，
???－1?＋?4－b?＝r，∴?222
?3＋?2－b?＝r.?
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??b＝1，
解得?2
?r＝10.?
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∴所求圆的方程为x＋(y－1)＝10.
2－41
解法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
3－?－1?2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)， 即y＝2x＋1.
??y＝2x＋1，
由?
?x＝0，?
??x＝0，
解得?
?y＝1.?
∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝10，
∴所求圆的方程为x＋(y－1)＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)＋(y－6)＝r.将点(1,10)代入得(1－a)＋(10－6)＝r，①
|a－13|而r＝，
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?a－13?
代入①，得(a－1)＋16＝，
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解得a＝3，r＝25或a＝－7，r＝45.
故所求圆为(x－3)＋(y－6)＝20，或(x＋7)＋(y－6)＝80. ‖层级二‖………………|应试能力达标|
1．点P(a,10)与圆(x－1)＋(y－1)＝2的位置关系是( ) A．在圆内 C．在圆外
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B．在圆上 D．不确定
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解析：选C ∵(a－1)＋(10－1)＝81＋(a－1)>2，∴点P在圆外．
2．若点A(a，a－1)在圆(x－3)＋(y－2)＝2的外部，则实数a的取值范围是( ) A．(2,4) C．(4，＋∞)
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B．(－∞，2)
D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析：选D 由题意得(a－3)＋(a－3)>2，即a>4或a<2.
3．设P是圆(x－3)＋(y＋1)＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 C．3
B．4 D．2
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解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆(x－1)＋y＝1关于直线y＝－x对称，则圆
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C的方程为( )
A．(x＋1)＋y＝1 C．x＋(y＋1)＝1
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B．x＋y＝1 D．x＋(y－1)＝1
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解析：选C 由已知圆(x－1)＋y＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
2024年高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程课时分层训练新人教A版必修2
