解：（1）四边形ABMN是正方形，其面积为2．
am3（2）四边形ABMN是菱形．当m＞0时，四边形ABMN的面积为；
4am3当m＜0时，四边形ABMN的面积为-． 4（说明：如果没有说理过程，探究的结论正确的得2分） 理由如下：
∵平移抛物线F1后得到抛物线F2，且抛物线F2经过原点O．
2
∴设抛物线F2的解析式为y＝ax ＋bx．
∵抛物线F2经过点A（m，0），∴am ＋bm＝0．由题意可知m≠0，∴b＝－am．
2
m2am2∴抛物线F2的解析式为y＝ax －amx． ∴y＝a(x－)－
422
am2mm∴抛物线F2的对称轴为直线x＝，顶点N（，－）．
422∵抛物线F2的对称轴与抛物线F1的交点为B，∴点B的横坐标为
m． 2m2am2∵点B在抛物线F1：y＝ax 上 ∴yB＝a()＝
422
设抛物线F2的对称轴与x轴交于点P，如图1． am2am2m∵a＞0，∴BP＝．∵顶点N（，－），
442am2am2∴NP＝|－|＝．∴BP＝NP．
44∵抛物线是轴对称图形，∴OP＝AP．∴四边形ABMN是平行四边形． ∵BN是抛物线F2的对称轴，∴BN⊥OA．∴四边形ABMN是菱形． am2∵BN＝BP＋NP，∴BN＝．
2am211∵四边形ABMN的面积为×OA·BN＝×|m|×
222am2am31∴当m＞0时，四边形ABMN的面积为×m×． ＝
422am2am31当m＜0时，四边形ABMN的面积为×(－m)×． ＝－
422am2（3）点C的坐标为（0，＋c）（参考图2）．
2
5.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
2
解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)＋1．
2
∵抛物线经过原点，∴a(0－2)＋1＝0，∴a＝－
1． 4∴抛物线的解析式为y＝－
211 2
(x－2)＋1＝－x＋x． 44（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，若S△MOB ＝3S△AOB ， 则△MOB的高是△AOB高的3倍， 即M点的纵坐标是－3．∴－
21 2
x＋x＝－3，整理得x －4x－12＝0， 4解得x1＝6，x2＝－2．∴满足条件的点有两个：M1(6，－3)，M2(－2，－3) （3）不存在．理由如下：
由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AOB＝∠ABO． 若△OBN∽△OAB，则∠BON＝∠BOA＝∠BNO． 设ON交抛物线的对称轴于A′ 点， 则A′ (2，－1)．∴直线ON的解析式为y＝－
1x． 2由
112
x＝－x ＋x，得x1＝0，x2＝6． 24∴N(6，－3)．过点N作NC⊥x轴于C．在Rt△BCN中，BC＝6－4＝2，NC＝3
∴NB＝22＋32＝13．
∵OB＝4，∴NB≠OB，∴∠BON≠∠BNO，∴△OBN与△OAB不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点． ∴在x轴下方的抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．
2012中考数学压轴题选讲（七）
2
1.已知二次函数y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形
与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？
若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
2.已知：t1，t2是方程t ＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形
2
22
x ＋bx＋c3OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之
间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
31，），C（1，0），∠ABC＝223.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
3），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物3（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点
B′是否在（1）的抛物线上；
中考数学压轴题 二次函数动点问题(七)
