2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（七）
1.已知二次函数y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形
与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？
若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
2
解：（1）∵二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（2，0），
2
?a＋b＋c＝0?a＝－1??C（0，－2） ∴?4a＋2b＋c＝0 解得?b＝3
?c＝－2?c＝－2??2
∴二次函数的解析式y＝－x ＋3x－2．
（2）当△EDB∽△AOC时，有
AOCOAOCO或 ＝＝
EDBDBDED2m－2AOCO1时，得，∴ED＝． ＝＝
EDBDEDm－22
∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2．当
∵点E在第四象限，∴E1（m，
2－m
）． 2
当
1AOCO2时，得，∴ED＝2m－4． ＝＝
BDEDm－2ED∵点E在第四象限，∴E2（m，4－2m）．
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF＝AB＝1， 点F的横坐标为m－1． 当点E1的坐标为（m，
2－m2－m
）时，点F1的坐标为（m－1，）． 22
22－m＝－(m－1)＋3(m－1)－2． 2∵点F1在抛物线的图象上，∴
∴2m －11m＋14＝0，解得m1＝
2
375，m2＝2（不合题意，舍去）．∴F1（，－）． 224∴S□ABEF ＝1×
33＝． 44当点E2的坐标为（m，4－2m）时，点F2的坐标为（m－1，4－2m）． ∵点F2在抛物线的图象上，∴4－2m＝－(m－1)＋3(m－1)－2．
2
∴m －7m＋10＝0，解得m1＝5，m2＝2（不合题意，舍去）．∴F2（4，－6）． ∴S□ABEF ＝1×6＝6． 注：其它解法可参照评分标准给分．
2.已知：t1，t2是方程t ＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形
2
2
22
x ＋bx＋c3OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之
间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
2
解：（1）由t ＋2t－24＝0，解得t1＝－6，t2＝4． ∵t1＜t2，∴A（－6，0），B（0，4）． ∵抛物线y＝
22
x ＋bx＋c的图象经过点A，B两点 314??24－6b＋c ＝ 02214?b ＝ ∴? 解得?3 ∴这个抛物线的解析式为y＝x ＋x＋4．
33?c ＝ 4?c ＝ 4?（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即－y＞0． 又∵S＝2S△APO＝2×
1×| OA|·| y |＝| OA|·| y |＝6| y | 2∴S＝－6y＝－6(
2221472
x ＋x＋4)＝－4(x ＋7x＋6)＝－4(x＋)＋25． 332令y＝0，则
2214x ＋x＋4＝0，解得x1＝－6，x2＝－1． 33∴抛物线与x轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0）∴x的取值范围为－6＜x＜－1． （3）当S＝24时，得－4(x＋
72
)＋25＝24，解得：x1＝－4，x2＝－3． 2代入抛物线的解析式得：y1＝y2＝－4． ∴点P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．
当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形． 当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形．
要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y＝形．
2214x ＋x＋4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方333.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
31，），C（1，0），∠ABC＝223），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物3（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点
B′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点
F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存
在，说明理由．
233）∴可设抛物线的解析式为y＝ax ＋． 33解：（1）∵抛物线的顶点为D（0，
∵B（－
3331122，）在抛物线上∴a(－)＋，∴a＝3． ＝2322233232
x ＋．
33∴抛物线的解析式为y＝
（2）∵B（－
31，），C（1，0） 2213∴BC＝(－－1)2＋()2＝3又B′C＝BC，OA＝3，∴B′C＝OA．
22∵AC＝OA2＋OC2＝(3)2＋12＝2 ∴AB＝AC2－BC2＝22－(3)2＝1 又AB′＝AB，OC＝1，∴AB′＝OC．∴四边形AOCB′是矩形．
∵B′C＝3，OC＝1∴点B′ 的坐标为（1，3）
3232
x ＋得y＝3 ∴点B′ 在抛物线上．
33将x＝1代入y＝
（3）存在， 理由如下：
?13??k＝ 3?－k＋b＝设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则?2 解得 2???b＝ 3?b＝ 3?∴直线AB的解析式为y＝3x＋3
∵P、F分别在直线AB和抛物线上，且PF∥AD 3232
∴设P（m，3m＋3），F（m，m ＋）
33∴PF＝(3m＋3)－(
323 ＝
33323223223m ＋m ＋3m＋ )＝－
3333AD＝3 －若四边形PADF是平行四边形，则有PF＝AD．即－
2322323m ＋3m＋ ＝333解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝
3． 2当m＝
5333时，3m＋3＝3×＋3＝．
222533，），使四边形PADF是平行四边形．
222
∴存在点P（
4.如图1，平移抛物线F1：y＝x 后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N． （1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；
2
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（2）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x ”改为“抛物线F1：y＝ax ”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；
2
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（3）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x ”改为“抛物线F1：y＝ax ＋c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与y轴的交点C的坐标（直接写出结论）．
中考数学压轴题 二次函数动点问题(七)
