专题04 二项式定理
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 A.12 C.20 【答案】A
31【解析】由题意得x3的系数为C4?2C4?4?8?12,故选A.
B.16 D.24
【名师点睛】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.
2??【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】?x2??的展开式中x4的系数为
x??A.10 C.40 【答案】C
B.20 D.80
5?22?r25?r?2?r【解析】由题可得?x??的展开式的通式为Tr?1?C5?x????C5?2r?x10?3r,
x??x??22令10?3r?4,得r?2,所以展开式中x4的系数为C5?2?40.故选C.
5r【名师点睛】本题主要考查二项式定理,属于基础题.
【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】?x?y??2x?y?的展开式中xy的系数为
335A.?80 C.40 【答案】C
B.?40 D.80
【解析】?x?y??2x?y??x?2x?y??y?2x?y?,
555
r由?2x?y?展开式的通项公式Tr?1?C5?2x?53355?r??y?r,可得:
32当r?3时,x?2x?y?展开式中xy的系数为C3?2???1???40; 52当r?2时,y?2x?y?展开式中xy的系数为C5?23???1??80,
3352则xy的系数为80?40?40.故选C.
【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
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【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主,重点考查二项式定理的通项公式及其应用,要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式,考查分类讨论的数学思想.
【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种:一种是利用通项公式求解指定的项;一种利用通项公式考查系数、指数问题,如常数项、x2项的系数等.重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主,利用题意写出通项公式是关键,通项公式是解决本类问题的核心与灵魂. 【答题模板】解答本类题目,一般考虑如下两步: 第一步:考查(a?b)的展开式的通项公式
rn?rr其通项公式为Tr?1?Cnab,通项公式是后面进行讨论和计算的基础;
n第二步:结合代数式的整体进行考查
结合题意,考查r的某个值的特殊情形,据此分类讨论即可求得的系数. 【方法总结】 1.二项式?a?b?n?n?N?展开式?a?b??n0n1n?12n?22rn?rrnn从?Cna?Cnab?Cnab?L?Cnab?L?Cnb,
恒等式中我们可以发现以下几个特点: (1)?a?b?完全展开后的项数为?n?1?;
(2)展开式按照a的指数进行降幂排列,对于展开式中的每一项,a,b的指数呈此消彼长的特点.指数和为n;
(3)在二项式展开式中由于按a的指数进行降幂排列,所以规定“+”左边的项视为a,右边的项为b,
n比如:?x?1?与?1?x?虽然恒等,但是展开式却不同,前者按x的指数降幂排列,后者按1的指数降幂排列.如果是?a?b?,则视为??a???b???进行展开;
rn?rr(4)二项展开式的通项公式Tr?1?Cnab (注意是第r?1项).
01n2.二项式系数:项前面的Cn,Cn,L,Cn称为二项式系数,二项式系数的和为2n;
nnnn二项式系数的来源:多项式乘法的理论基础是乘法的运算律(分配律,交换律,结合律),所以在展开时有这样一个特征:每个因式都必须出项,并且只能出一项,将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项.对于?a?b?可看作是n个?a?b?相乘,对于an?rbr 意味着在这n个?a?b?中,有
n?n?r?个式子出a,剩下r个式子出b,那么这种出法一共有Cnr种.所以二项式展开式的每一项都可
看做是一个组合问题.而二项式系数便是这个组合问题的结果. 3.系数:是指该项经过化简后项前面的数字因数.
注:(1)在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数.二项式系数是展开式通项公式中的Cn,对于确定的一个二项式,二项式系数只由r决定.而系数是指展开并化简后最后项前面的因数,其构成一方
2面是二项式系数,同时还有项本身的系数.例如:?2x?1?展开式中第三项为T3?C5??2x??12,其中22C5为该项的二项式系数,而T3?C5??2x??12?80x3,
r533化简后的结果80为该项的系数.
(2)二项式系数与系数的概念不同,但在某些情况下可以相等:当二项式中每项的系数均为1时(排除项本身系数的干扰),则展开后二项式系数与系数相同.例如?x?1? 展开式的第三项为
2T3?C5??x??12,可以计算出二项式系数与系数均为10.
354.有理项:系数为有理数,次数为整数的项,比如2x2,5.?a?b?与?a?b?的联系 首先观察他们的通项公式,
nn1就是有理项,而3x,5x就不是有理项. 5x?a?b?nrn?rrrn?rrn?rr:Tr?1?Cnab;?a?b?:Tr'?1?Cna??b????1?Cnab.
nrr两者对应项的构成是相同的,对应项的系数相等或互为相反数.其绝对值相等.所以在考虑?a?b?系数的绝对值问题时,可将其转化为求?a?b?系数的问题.
nn
1.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】(x?1)(3x2?1)3的展开式中x4的系数是 A.27 C.26
B.–27 D.–26
2.【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在(x?)的二项展开式中,x6的系数等于 A.–180 C.
B.? D.180
52x10535 3?a?3.【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若?x?2???x?展开式的常数项等于–80,则a? ?x?A.–2 C.–4
B.2 D.4
4.【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为 A.–80 C.40
B.–40 D.80
61??5.【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式?x?2?的展开式中,常
x??数项为 A.64 C.15
B.30 D.1
??a?6.【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设a??sinxdx,则??x?的展开式中
0?x?的常数项为__________.(用数字填写)
61??7.【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式?x3??的展开式
x??中x4的系数为__________.(用数字作答)
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专题04 二项式定理-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)
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