专题04 二项式定理
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 C．20 【答案】A
31【解析】由题意得x3的系数为C4?2C4?4?8?12，故选A．
B．16 D．24
【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
2??【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】?x2??的展开式中x4的系数为
x??A．10 C．40 【答案】C
B．20 D．80
5?22?r25?r?2?r【解析】由题可得?x??的展开式的通式为Tr?1?C5?x????C5?2r?x10?3r，
x??x??22令10?3r?4，得r?2，所以展开式中x4的系数为C5?2?40．故选C．
5r【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】?x?y??2x?y?的展开式中xy的系数为
335A．?80 C．40 【答案】C
B．?40 D．80
【解析】?x?y??2x?y??x?2x?y??y?2x?y?，
555
r由?2x?y?展开式的通项公式Tr?1?C5?2x?53355?r??y?r，可得：
32当r?3时，x?2x?y?展开式中xy的系数为C3?2???1???40； 52当r?2时，y?2x?y?展开式中xy的系数为C5?23???1??80，
3352则xy的系数为80?40?40．故选C．
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
33
【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想．
【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用通项公式求解指定的项；一种利用通项公式考查系数、指数问题，如常数项、x2项的系数等．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意写出通项公式是关键，通项公式是解决本类问题的核心与灵魂． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步： 第一步：考查(a?b)的展开式的通项公式
rn?rr其通项公式为Tr?1?Cnab，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；
n第二步：结合代数式的整体进行考查
结合题意，考查r的某个值的特殊情形，据此分类讨论即可求得的系数． 【方法总结】 1．二项式?a?b?n?n?N?展开式?a?b??n0n1n?12n?22rn?rrnn从?Cna?Cnab?Cnab?L?Cnab?L?Cnb，
恒等式中我们可以发现以下几个特点： （1）?a?b?完全展开后的项数为?n?1?；
（2）展开式按照a的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，a,b的指数呈此消彼长的特点．指数和为n；
（3）在二项式展开式中由于按a的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a，右边的项为b，
n比如：?x?1?与?1?x?虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列．如果是?a?b?，则视为??a???b???进行展开；
rn?rr（4）二项展开式的通项公式Tr?1?Cnab （注意是第r?1项）．
01n2．二项式系数：项前面的Cn,Cn,L,Cn称为二项式系数，二项式系数的和为2n；
nnnn二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项．对于?a?b?可看作是n个?a?b?相乘，对于an?rbr 意味着在这n个?a?b?中，有
n?n?r?个式子出a，剩下r个式子出b，那么这种出法一共有Cnr种．所以二项式展开式的每一项都可
看做是一个组合问题．而二项式系数便是这个组合问题的结果． 3．系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数．
注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数．二项式系数是展开式通项公式中的Cn，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r决定．而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方
2面是二项式系数，同时还有项本身的系数．例如：?2x?1?展开式中第三项为T3?C5??2x??12，其中22C5为该项的二项式系数，而T3?C5??2x??12?80x3，
r533化简后的结果80为该项的系数．
（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同．例如?x?1? 展开式的第三项为
2T3?C5??x??12，可以计算出二项式系数与系数均为10．
354．有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如2x2,5．?a?b?与?a?b?的联系 首先观察他们的通项公式，
nn1就是有理项，而3x,5x就不是有理项． 5x?a?b?nrn?rrrn?rrn?rr：Tr?1?Cnab；?a?b?：Tr'?1?Cna??b????1?Cnab．
nrr两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数．其绝对值相等．所以在考虑?a?b?系数的绝对值问题时，可将其转化为求?a?b?系数的问题．
nn
1．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】(x?1)(3x2?1)3的展开式中x4的系数是 A．27 C．26
B．–27 D．–26
2．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在(x?)的二项展开式中，x6的系数等于 A．–180 C．
B．? D．180
52x10535 3?a?3．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若?x?2???x?展开式的常数项等于–80，则a? ?x?A．–2 C．–4
B．2 D．4
4．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为 A．–80 C．40
B．–40 D．80
61??5．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式?x?2?的展开式中，常
x??数项为 A．64 C．15
B．30 D．1
??a?6．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设a??sinxdx，则??x?的展开式中
0?x?的常数项为__________．（用数字填写）
61??7．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式?x3??的展开式
x??中x4的系数为__________．（用数字作答）
6
专题04 二项式定理-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)
