专题8.1：立体几何中探索性问题的研究与拓展
【拓展探究】
探究1： 如图，在三棱锥P ? ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形， D，E，F分别是BC，PB，CA的中点． （1）证明平面PBF⊥平面PAC；
（2）判断AE是否平行平面PFD？并说明理由； （3）若PC = AB = 2，求三棱锥P ? DEF的体积． 解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴PC⊥BF．
∵△ABC为正三角形，F 是CA的中点 ∴BF⊥AC．又∵PC∩AC ? B∴BF⊥平面PAC． ∵BF?平面PBF，∴平面PBF⊥平面PAC． （2）AE不平行平面PFD．
AFDECPC．
反证法：假设AE∥平面PFD．∵AB∥FD，FD?平面PFD，AB?平面PFD ∴AB∥平面PFD．∵AE、AB 是平面ABE内两条相交直线， ∴平面ABE∥平面PFD．
而∵P∈平面ABE，P∈平面PFD，矛盾． 则假设不成立．即AE不平行平面PFD．
（3）∵D，E，F分别是BC，PB，CA的中点，PC⊥平面ABC，∴VP ? DEF ? VB ? DEF ． 则VP ? DEF ?
111111VP ? BDF ＝××S△ABC ×PC＝××223423331×． ?4?2?4124变式1：如图在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E?A1D；
（2）AE等于何值时，平面D1DE?平面D1CE，并证明你的结论；
解：（1）证明：连接AD1，
D1C1B1D
C
E
B
A1A
依题意有：在长方形A1ADD1中，AD?AA1?1，
四边形A1ADD1?A1D?AD1???A1D?平面AD1B?又AB?平面A1ADD1?AB?A1D???A1D?D1E． …… 7分
DE?平面ADB11?ADAB?A??（2）证明：AE等于1时，面D1DE?面D1CE ……… 9分 证明：当AE?1时，DE?CE?2，又CD?2，?DE2?CE2?CD2，
?DE?CE，又长方体中DD1?面AC，?CE?DD1，?CE?面D1DE
拓展：特征矩形（平面几何问题）
若ABCD是一个矩形，且E是AB的中点，则DE?AC的充要条件是
探究2：如图，在透明塑料制成的长方体ABCD ? A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终呈棱柱形状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE ? BF是定值．其中正确说法是 ．
AB?2 BC
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
高中数学提高拓展题专题8.1：立体几何中探索性问题的研究与拓展
