x1?Acos(?t??1) x2?Acos?(t??2)
速度为 v1?dx1??A?sin?(t??1) dtdx2??A?sin(?t??2) dtv2?依题意，两质点在t?t?相遇时
x1(t?)?x2(t?)?A 21 2cos(?t???1)?cos(?t???2)??t???1??t???2?2n???3
此时两质点运动方向相反，这分两种情况。
（1）质点1向x轴正向运动，质点2向x轴负向运动，这时
?t???1?2n???3 ?t???2?2n??2? 3?3
位相差???(?t???1)?(?t???2)??（2）质点1向x轴负向运动，质点2向x轴正向运动，这时
?t???1?2n???3 ?t???2?2n??2? 3?3
位相差???(?t???1)?(?t???2)?两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后
2?3。两质点在?A2处相向相遇时有同样的结论。
11-5 在一平板上放质量m?1.0kg的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为T?0.5s，振幅A?0.02m，试求： （1）在位移最大时，物体对平板的压力； （2）平板应以多大振幅作振动，才能使重物开始跳离木板。
解：（1）选择物体平衡位置为坐标原点，向
上的方向为x轴正向。由牛顿第二定律有
N?mg?ma
题11-5图
当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即 a??amax??A?2
2???此时 N?mg?mamax?m(g?A?2)?m?g?()2A??6.6N
T??当系统运动到最低位置时 a?amax?A?2
此时 N?mg?mamax?m(g?A?2)?1.0?(9.8?3.2)N?13N
（2）物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力
N?mg?mamax?m(g?A?2)?0
gT2A?2??0.062m
?4?2g11-6 如图所示，一质量为M的盘子系于竖直悬挂的 轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为k。现有一质量m的物体自离盘h高处自由落下 掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的 瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。 （取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位移取向下为正）。
解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点，y轴向下建立坐标系。 这时弹簧伸长?2为
(m?M)g?k?2
题11-6图
?2?m?Mg k当t?0时，弹簧伸长?1为
Mg?k?1 ?1?Mg k
所以，t?0时系统的位移为
y0??(?2??1)??[(M?m)gmgmg ?]??kkk题11-6图
设此时系统的速度为v0，由动量守恒定律有
m2gh?(M?m)v0 v0?m2gh
M?m且速度向下与y轴方向相同，v0取正值。
当物体落入盘中，且系统运动至坐标y处时，系统运动方程为
d2y(M?m)g?T?(M?m)2
dt此时弹簧伸长为y??2，因而T?k(y??2)
d2y则 (M?m)g?k(y??2)?(M?m)2
dt由于 k?2?(M?m)g有
d2yk?y?0 2M?mdt?t??0) ??方程解为 y?Acos(m2ghmg,v0? kM?mk M?m由初始条件k?0时，y0??202v0有 A?mg2m22gh(M?m)2y?2?()? ?kk(M?m)=
mg2kh1? k(M?m)gm?2ghv02kh?n()?arctanm?M?arctan ?0?arcta ?y0g(M?m)kmg(?)M?mk所以盘子的振动表达式为
y?mg2khk2kh1?cos(?t?arctan) k(M?m)gM?mg(M?m)
11-7 如图所示，一弹簧振子由倔强系数k的弹簧和质量M的物块组成，
将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m，速度u0的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求： （1）振子以后的振幅和周期；
（2）物体从初始位置运动到最高点所需的时间。
解：（1）以子弹射入物块后的平衡 位置为原点，y轴向下，建立坐标系，这时 弹簧伸长
y2?M?mg k题11-7图
子弹未射入物块时，弹簧伸长为
题11-7图 Mg。此时物体在坐标系中的位置 y1?kM?mMgmg y0??(y2?y1)??(g?)??kkk物块和子弹共同运动的速度v0 (M?m)v0??mu0
v0??mu0 （负号表示方向向上） M?m
当子弹射入物块，并且运动到y处时，系统的运动方程为
d2y(M?m)g?T?(M?m)2
dt此时弹簧伸长为y2?y，故T?k(y2?y)
d2y于是有 (M?m)g?k(y2?y)?(M?m)2
dt由于 ky2?(M?m)g
d2y有 ?ky?(M?m)2
dtd2yk?y?0 2M?mdt?(t??0) ??系统的振动方程为 y?Acosk M?m由初始条件t?0时，y?y0??mg?m ， v0?u0 kM?m2有 A???m?u0??vmg2y0?(0)2 =(?)2??M?m?
?k??k???M?m?2m2u0mg2=()?
k(M?m)k?0?arctan(?v0)?arctan(??y0mu0M?m) kmg(?)M?mk??arctan(?uk?0) M?mg2m2u0mg2故系统振幅为 A?()?
k(M?m)k周期为 T?2?（2） 系统的振动方程为
M?m k2?m2u0u0?mg2kky?()?cos??t?arctan(??)?
k(M?m)kM?mM?mg??物块从初始位置运动到最高点时，y??A
?u0?kkcos??t?arctan(??)???1
M?mM?mg??第一次到达最高点时
ukk?t?arctan(??0)?? M?mM?mgt?uM?mk[??arctan(??0)] kM?mg11-8 一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度
1v?1.0m?s?1，周期T?1.0s，求再经过s时间，物体的动能是原来的多少倍，
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大学物理课后答案第十一章
