《风险管理与控制》复习题
（注意：第一题收益分布是两点分布，用下面解法，如果收益分布为连续分布，用课本解法，总之，结合两个定义，1、VaR是给定置信水平下，某一金融资产或证券投资组合在未来特定时间内的最大损失额，2、期望尾损：即在某尾部概率区间的期望损失）
一、假设两项投资中的任何一项都有0.9%的可能触发损失5亿美元，而有99.1%的可能触发损失1亿美元，并且有正收益的概率为0，这两项投资相互独立。
（a）对应于 99%的置信水平，任意一项投资的VaR是多少？
因为任何一项投资有99.1%得可能出发损失1亿美元，有0.9%得可能触发损失5亿美元，而99%<99.1%，则在90%的把握下，损失最大为1亿美元，即VaR=1亿美元。
（b）选定99%的置信水平，任意一项投资的预期损失是多少？
在1%的尾部分布中，有0.1%的概率损失为1亿美元，有0.9%的概率损失为5亿美元，即在1%的尾部分布范围内，有10%的概率损失为1亿美元，90%的概率损失为五亿美元，预期亏损为0.1×1+0.9×5=4.6亿美元。
（c）将两项投资叠加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是多少？
将两项投资叠加产生一个投资组合，则组合有0.009×0.009=0.000081，即0.0081%的概率损失5+5=10亿美元；有2×0.009×0.991=0.017838，即1.7838%的概率损失1+5=6亿美元；有0.991×0.991=0.982081，即98.2081%的概率损失1+1=2亿美元。
因为98.2081%<99%<98.2081%+1.7838%，所以组合的VaR=6亿美元。
（d）将两项投资叠加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的期望尾损是多少？
将两项投资叠加产生一个投资组合，在1%的尾部分布中，有0.0081%概率损失为1100万美元，即在1%的尾部分布的范围内，预期亏损为（0.0081/1）×10+（0.9919/1）×6=6.0324亿美元。
（e）请详细说明此例的VaR和期望尾损各自是否满足次可加性？
单笔投资所对应的VaR的和为2亿美元，组合的VaR为6亿美元，由于2<6，这违反了次可加性。
单笔投资所对应的预期亏损的和为4.6×2=9.2亿美元，组合的预期亏损为6.0324亿美元，9.2>6.0324，则满足次可加性。
二、说明风险测度的一致性，并举例说明VaR不满足一致性。 （一）风险测度的一致性
Artzner et al.（1999）分析了风险测度应该有的性质,并假定自然状态的数量是有限的。该风险测度m(.)可以用于任意市场价值为随机变量X的投资组合，由此得到风险值m(X)。如果一个风险测度满足以下四个公理，则把它称为一致的：
1.次可加性：对于任何投资组合收益X和Y，有m(X+Y)<=m(X)+m(Y) 2.齐次性：对于任何数字a>0,m(aX)= am(X) 3.单调性：如果X>=Y，m(X)>=m(Y)
4.无风险条件：对于任何常数k，m(X+k)=m(X)+k
（二）VaR满足齐次性、单调性和无风险条件，但是不满足次可加性。因此不满足一致性。在对各业务单元（例如交易柜台或部门）的风险测试汇总的时候，这是一个潜在的严重的局限性，因为次可加性的缺失意味着分散化并不能降低风险。例如，假设X和Y是独立同分布的两项贷款的回收额，其中每一项都以0.994的概率偿还本金100，否则违约而且回收额为0，如果我们的风险测度m(.)是置信水平99%下的VaR,那么m(X)=m(Y)=0,因为损失的概率在VaR度量的”雷达区之外”，VaR只能捕获到发生概率至少为0.01的损失。另一方面，设想一项投资组合由这两项贷款的各50%组成，我们得到m(X/2+Y/2)＝50，因为至少一种债券违约的概率正好超过1%，两个都违约的概率小于1%，因此，作为风险测度方法，VaR并不支持资产分散化以降低风险的传统认识。
ì0.01t?[0,0.5]??l(t)=三、假定面值为$100的一年期的债券违约强度为，求债í?0.02t?[0.5,1]??券在一年内违约的概率，若该债券的实际期望收益率为8%，求该债券的当前价
格。
解:债券生存一年的概率是
=0.985
则债券在一年内违约的概率为1-P(t)=0.015 100×0.985=X×(1+0.08) 其中X=91.2
该债券的当前价格为91.2元。
四、若当前的的资产负债比例为10：1，债务价值保持不变，资产价值变化过程服从以下模型
dAt=0.04dt+0.1dBt t（一）求当前违约距离；
由Black-Scholes-Merton模型（3.5）
u-y=0.04 σ= 0.1
违约距离为：
????lnln?????ln??ln10
????==??==23.02
????0.1
（二）设违约边界是公司的债务价值，运用首次通过模型计算从当前开始在三年内违约的概率。
由
??(??,??)=??(????≥0,??≤??≤??|????)=??(????,?????)
??+???????+????
H(x,s)=N()????2??????()
√??√??????????
2=0.35 且漂移系数m=
??2
得：P(t,t+3)=H(Xt, 3)=N(24.07√3)=?e-7N(?21.97√3)
=N(13.93)?e-7N(?12.68) =Φ(13.93)?e-7 Φ(?12.68)
?1
违约概率
p?1?p(t,t?3)?0
五、在带有跳跃的强度模型中，已知跳跃之间的违约强度满足
dl(t)=0.4[0.01-l(t)] t假设跳跃过程为复合泊松过程，跳跃强度为c=??.??????，跳跃幅度数学期望为
J=6 ，求时刻2到3之间违约的概率。
P(2,3)=????(1)+??(1)??(2) 1????0.4
??(1)=?
0.4??(1)=?0.01×(1?
由
1????0.40.4
)???+0.4×[J?ln(1+
0.002
1????0.40.4
??)]
????(??)????
=0.4[0.01???(??)]
得???(??)=????????????
求得生存概率p(2,3)=0.44 违约概率p?1?p(2,3)=0.56
六、在带有跳跃的强度模型中，已知跳跃之间的风险中性违约强度满足
dl*(t)*=0.5?[0.002l(t)]， *l(t)
《风险管理与控制》复习
