证明题之基础模型
１。万有引力定律F = GMｍ／r
证明:设有两个孤立物体质量分别为M、m,相距较远间距为r,m围绕Ｍ作匀速圆周运动周期为T
M对ｍ的万有引力F提供向心力:Ｆ = m(2π/T)r ① 由开普勒第三定律: ｒ/ T = 常数 ② 由①②得:F = (２π)m( r/ T) /r 即F∝m/r ③ 由牛顿第三定律可知:m对M的万有引力大小也为F,且具有相同的性质 因此,ｍ对Ｍ的万有引力F∝M/ｒ ④ 综合③④得:F∝Mm/r
万有引力定律F = GMm/r (其中G为引力常量)
2。证明动能定理:利用牛顿第二定律证明:外力对物体所做的总功等于物体动能的增加、 证明:一个质量为ｍ的物体原来的速度为v1,动能为m v1/2,在恒力Ｆ的作用下,发生一段位移s,速度为v2,动能增加到ｍ ｖ2／2,设外力方向与运动方向相同,外力F做的功W=Fs,依照牛顿第二定律F=ma,由运动学公式ｖ2-v１=２as,得:ｓ= (v2-ｖ１)/2a,因此 Ｆs=ｍa(v２-v1)/2a= m v２／2— m ｖ１/２ 或W=EK2- ＥK1 上述结论由假定物体受一个力推导出来的,假如不只受一个力而是几个力, 总功就是各个力做功的代数和、
３。证明机械能守恒定律:在只有重力做功的情形下,物体的动能和重力势能发生相互转化,但总的机械能保持不变、
证明:如图所示,取地为零势能点,设物体只受重力作用,向下做匀加速运动。在位置1时速度为ｖ1,高度为h１,在位置2时速度为v２,高度为h２,由匀加速运动公式可得:v2－v１＝2g(ｈ1—ｈ2) ｖ1+2gｈ1＝ v2+2gh2 ,
mv1/2+ｍgh１＝m v2/2＋mｇh2 即,Ｅ1=Ｅ2 因此机械能守恒、
４。(１)试在下述简化情况下,由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式:一个运动质点只受到一个恒力作用,沿直线运动。要求说明推导过程中每步的依照,以及最后结果中各项的意义、
(2)人们常说“滴水穿石\请您依照下面所提供的信息,估算水对石头的冲击力的大小、
一瀑布落差为ｈ=２0m,水流量为Ｑ=0。１0m/s,水的密度ρ＝1、O×l0ｋg/m,水在最高点和落至石头上后的速度都认为是零。(落在石头上的水马上流走,在讨论石头对水作用时
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能够不考虑水的重力,g取10m/ｓ)、
解:(1)如图所示,一物体放在光滑的水平面上,设在恒力F的作用下, 开始时物体的初速度为V1,经过ｔ时间后,物体的速度变为Ｖ2 由牛顿第二定律得: ① 由运动学公式得: ② 由①②可得: ,由此式变形得:
式中:表示物体在t时间内物体受到合外力的冲量;表示物体在这段时间的末动量;表示物体在这段时间的初动量
(2) 设经Δt时间内落到石头上水的质量为m,落到与石头相碰前的速度为v 则m =ρQΔt ③ 由动能定理: ④ 由动量定理: ⑤ 由③④⑤得,
5、简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式
(1)一个质点做机械振动,假如它的回复力与偏离平衡位置的 位移大小成正比,而且方向与位移方向相反,就能判定它是简谐运动、如图1所示,将两个劲度系数分别为k1和 k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上,弹簧的两端固定,中间接一质量为m的小球,此时两弹簧均处于原长。现将小球 沿杆拉开一段距离后松开,小球以Ｏ为平衡位置往复运动。请您据此证明,小球所做的运动是简谐运动。 证明 :当小球向右运动到任意位置C,离开O的位移 为x,此时小球受到两个弹力F1、F２,方向沿x轴负方 向,如图1所示、两个力的合力即为小球的回复力,即 Ｆ＝ —(F１＋F2)＝ —(ｋ1x＋k2x)＝ -(k1+k2)ｘ 其中k1+ｋ2为常数,因此F与x成正比、
回复力Ｆ沿x轴负方向,位移x沿x轴正方向, F与x 方向相反。由此证明小球所做的运动是简谐运动。
6、简谐运动是一种理想化的运动模型,是机械振动中最简单、最基本的振动。 它具有如下特点:
(1)简谐运动的物体受到回复力的作用,回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比,回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反,即:,其 中k为振动系数,其值由振动系统决定;
(2)简谐运动是一种周期性运动,其周期与振动物体的质量的平方根成正比,与振动系统的振动系数的平方根成反比,而与振幅无关,即::T = 。 7。试论证分析如下问题:
(1)如图甲,摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动,当地重力
加速度为g。
V1 V2
２
F F a. 当摆球运动到P点时,摆角为θ,画出摆球受力的示意图,并写出此时刻摆球受 到的回复
力大小;
b. 请结合简谐运动的特点,证明单摆在小角度摆动时周期为T=
8。求证:电流与自由电子定向移动速率的关系式I=ｎeSv。
证明:如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流,导线截面积为S,电子定向移动速率为v,单位体积内电子数为n,通电时间为ｔ、
则在这段时间内,电子定向移动的距离为L=vt, 通过导线截面的电量为q＝eｎV=enSL=ｎｅSvｔ、 因此电流为I=q/t=nｅSv、
９、设导线中单位体积内含有的运动电荷数是ｎ,每个电荷的电量是ｑ,电荷的平均定向移动速率是v,导线的横截面积是S,磁场对电流的作用力可看作是作用在每个运动电荷上的洛仑兹力的合力,求证:洛仑兹力公式ｆ=ｑvB。
证明:那么通过导线的电流就是 I=nｑvS
设洛仑兹力为ｆ,这段导线内运动电荷的总数为N,则 Ｎf=F,即Nf=IＬB, 代入Ｉ=nqvＳ,得到Nf＝nｑvSLB 又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积,
即Ｎ=nSL,因此上式简化为 f＝qvＢ
10、如图所示,两根相距为的光滑金属导轨、固定在水平面内,并处在方向竖直向下的匀强磁场中,导轨足够长且电阻不计、在导轨的左端接入一阻值为的定值电阻,将质量为、电阻可忽略不计的金属棒垂直放置在导轨上。时刻,棒与的距离为,棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,不计空气阻力。
金属棒以恒定速度向右运动过程中,若所加匀强磁场的磁感应强度为且保持不变,试从磁通量变化、电动势的定义、自由电子的受力和运动、或功能关系等角度入手,选用两种方法推导棒中产生的感应电动势的大小; 方法一:由法拉第电磁感应定律推导 经过时间闭合回路的磁通量变化为 依照法拉第电磁感应定律 方法二:利用电动势的定义推导
电动势定义为非静电力把单位电荷量的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功,对应着其他形式的能转化为电势能的大小。这个地方的非静电力为洛伦兹力(沿棒上的分力),洛伦兹力(沿棒上的分力)做正功,即:
方法三:由导体棒中自由电子受力平衡推导
导体棒内的自由电子随导体棒向右匀速运动的速度为,受到的洛伦兹力大小为,方向向下,电
高考：物理证明题之基础模型
