2000年全国高中数学联赛试题
第一试
（10月15日上午8:00?9:40）
一、 选择题
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1． 设全集是实数，若A={x|x?2≤0}，B={x|10x2?2=10x},则A?B是 （ ）
(A) {2} (B) {?1} (C) {x|x≤2} (D) ? 2． 设sin?＞0,cos?＜0,且sin(A) (2k?+
?3＞cos
?3,则
?3的取值范围是 （ ）
?2k??2k???,2k?+), k?Z (B) (+,+),k?Z
3363635?5???(C)(2k?+,2k?+?),k?Z (D)(2k?+,2k?+)?(2k?+,2k?+?),k?Z 643622
3． 已知点A为双曲线x?y=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 （ ）
333 (B) (C) 33 (D) 63 324． 给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程
(A)
bx2?2ax+c=0 （ ）
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y?(A)
54x?的距离中的最小值是 35343411 (B) (C) (D) （ ） 1708520306． 设??cos4
?552432
(A) x+x+x+x+1=0 (B) x?x+x?x+1=0
432432
(C) x?x?x+x+1=0 (D) x+x+x?x?1=0
3
?isin?，则以?,?,?,?为根的方程是 （ ）
379
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7． arcsin(sin2000?)=__________.
32333n???8． 设an是(3?x)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则lim(?)=________.
n??aaa23nn9． 等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 10．
x2y2在椭圆2?2?1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的
ab5?1，则∠ABF=_________. 2一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
离心率是11．
12． 如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a?b,b?c,c?d,d?a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 13． 14．
x2y215． 已知C0:x+y=1和C1:2?2?1(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意
ab一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。
2
2
设Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)=
Sn的最大值.
(n?32)Sn?1113若函数f(x)??x2?在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].
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【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等． A M
N
二．（本题满分50分）
设数列{a n}和{b n }满足，且
B
E F C
D ?an?1?7an?6bn?3 n?0,1,2,??b?8a?7b?4nn?n?1
证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．
三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，k
都是3 次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
2000年全国高中数学联合竞赛试题答案
1.【答案】D 【解析】由φ. 2．【答案】D
【解析】由sin??0，cos??0得???2k??x?2?2得x=2，故A={2}；由10x2?2?10x得x2?x?2?0，故B={-1，2}.所以A?B=
????,2k????,k?Z 2?从而有
??2k??2k???∈??,??,k?Z ………………① 3?3633?又因为sin?3?cos?3，所以又有
???5??∈?2k??,2k???,k?Z…………② 3?44?2如上图所示，是①、②同时成立的公共部分为
5????,2k????,k?Z. ?2k??,2k?????2k??43??6?????B13．【答案】C
-2A-1【解析】如图所示，设BD=t，则OD=3t-1，从而B（3t-1，t） 满足方程x2?y2?1，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC的面积是第3题O-112DC-233.
4．【答案】 A
【解析】由题意知pq=a，2b=p+c,2c=q+b?b?2
2p?qp?2q2p?qp?2q，c?≥?bc=33333p2q?3pq2=pq=a2 .因为p≠q，故bc> a2，方程的判别式Δ= 4a2 -4bc<0，因此，方程无实数根.
5．【答案】B
【解析】设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为
d?25m?15n?1225?(?15)22?5(5m?3n)?12534
由于m,n∈Z，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为 6．【答案】 B
【解析】由??cos2
3
4
5
34. 85?5?isin6
?57
?cos8
2?2??isin知， 10109
10
ω，ω，ω，ω，ω，ω，ω，ω，ω，ω(=1)是1的10个10次方根.
从而有
234567891010
(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)=x-1………①
246810
由因ω，ω，ω，ω，ω是1的5个5次方根， 从而有
2468105
(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)=x-1 ………②
35795
①÷②得 (x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)(x-ω)=x+1 ………③
5
③的两边同除以(x-ω)=x+1，得
379432
(x-ω)(x-ω) (x-ω)(x-ω)= x-x+x-x+1.
379432
所以ω，ω，ω，ω为根的方程是x-x+x-x+1=0.
二、填空题（满分54分，每小题9分）
7．【答案】-20°
【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°
故arcsin(sin2000°)= arcsin(-sin20°)= -arcsin(sin20°)= -20° 8．【答案】18 【解析】由二项式定理知，an?C?32nn?23n32?21??1，因此??18???
ann(n?1)?n?1n?limn???32333n??a?a???a3n?21 3??1??=18?1??=18. ?lim?n???n?
9．【答案】
【解析】q?a?log43a?log83log43?log831= ??a?log23a?log43log23?log4335 10．【答案】90°
【解析】 如图所示，由
Bc5?1??c2+ac-a2=0， a22c-5bOa5FA?acos?ABF?
11．【答案】
2?b2?a2??c?a?2?a?a2?b2?=0
-5第10题?则∠ABF=90°.
23?a 24【解析】 如图，设球心为O，半径为r,体积为V，面BCD的中心为O1，棱BC的中心点为E，
2222则 AO1=a?O1B=a?a=
136a, 32AHBECO0'第11题D由 OB=O1O+O1B=?O1B?OB?+O1B得
22222226136a?aOB+a2?0, 故 OB=aa, 333426于是 r = OE = OB2?BE2=
32121a. a?a=
8422V=
44123?r2=?a2=?a. 331622412．【答案】28
2000年全国高中数学联赛试卷及详细解析
