第二章 基本定理
我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程
dx?p(x)y2?q(x)y?r(x)(p(x)?0) dy除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程
dy?x2?y2就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初dx等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.
2.1 解的存在唯一性定理
对于一般的常微分方程
dy?f(x,y) （2.1） dx如果给出了初始条件y(x0)?y0，我们就得到了柯西初值问题
?dy??f(x,y) （2.2） ?dx??y(x0)?y0这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.
2.1.1 存在唯一性定理的叙述
定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数f(x,y)在闭矩形区域
R2:x0?a?x?x0?a,y0?b?y?y0?b
上满足如下条件：
（1）在R2上连续；
（2）在R2上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数N，使对于R2上的任何一对点(x,y)和(x,y)有不等式：
f(x,y)?f(x,y)?Ny?y
则初值问题（2.2）在区间[x0?h0,x0?h0]上存在唯一解
y??(x),?(x0)?y0
其中h0?min(a,b),M?maxf(x,y).
(x,y)?RM 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明： 1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数f(x,y)在闭矩形区域R2关于y的偏导数fy?(x,y)存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为fy?(x,y)有界，故设fy?(x,y)?N，对?(x,y),(x,y)?R2，由拉格朗日中值定理得：
f(x,y)?f(x,y)?fy?(x,?)y?y?Ny?y
我们验证fy?(x,y)在闭矩形区域R2上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：fy?(x,y)在闭矩形区域R2上连续.由闭区域上连续函数的性质知：fy?(x,y)在闭矩形区域R2上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：
fy?(x,y)在R2上连续?fy?(x,y)在R2上存在且有界?李普希兹条件
2、在定理2.1的结论中，解y??(x)的存在区间为[x0?h0,x0?h0]，其中
h0?min(a,b),M?maxf(x,y).为什么解的存在区间不是[x0?a,x0?a]呢？这
(x,y)?RM是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域R2，方程的解y??(x)不能超出R2的
范围，又因为M?maxf(x,y)，所以?M?f(x,y)?M
(x,y)?R即 ?M?dy?M dx?dy?dy????M?M由?dx和?dx得：y1(x)??M(x?x0)?y0，y2(x)?M(x?x0)?y0 ??y(x0)?y0??y(x0)?y0因此y1(x)?y??(x)?y2(x)，即y??(x)夹在y1(x)与y2(x)之间. 又，y1(x)与y2(x)在R2上的存在区间为[x0?h0,x0?h0]， 故y??(x)的存在区间也是[x0?h0,x0?h0]. 2.1.2 存在性的证明
首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解y??(x)，等价于求解积分方程
y?y0??f(?,y(?))d? （2.3）
x0x 事实上，如果y??(x)是初值问题（2.2）的解，即有
??(x)?f(x,?(x))且?(x0)?y0
从x0到x积分得：?(x)?y0??f(?,?(?))d?
x0x即y??(x)是积分问题（2.3）的解.
反过来，如果y??(x)是积分问题（2.3）的解，即有
?(x)?y0??f(?,?(?))d?
x0x则?(x0)?y0且??(x)?f(x,?(x)) 即y??(x)是初值问题（2.2）的解.
经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.
下面用皮卡（Picard）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：
1、构造近似函数列??n(x)?
任取一个满足初值条件y(x0)?y0的函数y??0(x)作为首项（初始项），并要求在R2上的存在区间为：[x0?h0,x0?h0]，简单起见，取?0(x)?y0，将它代入
方程（2.3）的右端，所得到的函数用?1(x)表示，并称为一次近似，即
?1(x)?y0??f(?,?0(?))d?
x0x再将?1(x)代入方程（2.3）的右端就得到二次近似
?2(x)?y0??f(?,?1(?))d?
x0x序行此法，可以得到n次近似
?n(x)?y0??f(?,?n?1(?))d?
x0x为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有(x,?n(x))?R2，即当x?[x0?h0,x0?h0]时，有
?n(x)?y0?bn?1,2,?
下面用数学归纳法证明?n(x)?y0?b.显然，当x?[x0?h0,x0?h0]时，有
?0(x)?y0?y0?y0?0?b
假设，当x?[x0?h0,x0?h0]时，有?n?1(x)?y0?b，那么，对于?n(x)有
?n(x)?y0??f(?,?n?1(?))d?
x0x从而有
?n(x)?y0??xx0f(?,?n?1(?))d??Mx?x0?Mh0?Mb?b M由数学归纳法知，当x?[x0?h0,x0?h0]时，有
?n(x)?y0?bn?1,2,?
这样，我们就可以得到一个近似函数列??n(x)?.
2、证明近似函数列??n(x)?在区间[x0?h0,x0?h0]上一致收敛.
由于无法得到??n(x)?的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列??n(x)?的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数
?0(x)?[?1(x)??0(x)]???[?n(x)??n?1(x)]?? （2.4） 它的部分和是
Sn?1(x)??0(x)?[?1(x)??0(x)]???[?n(x)??n?1(x)]??n(x)
因此，证明??n(x)?的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级
数（2.4）在区间[x0?h0,x0?h0]上一致收敛.
首先研究级数（2.4）的通项?n(x)
?1(x)??0(x)??f(?,?0(?))d?
x0x即
?1(x)?y0??f(?,y0)d?
x0x所以
?1(x)?y0?x?xx0f(?,y0)d??Mx?x0
x 因为?1(x)?y0??f(?,?0(?))d?，?2(x)?y0??f(?,?1(?))d?，所以
x0x0?2(x)??1(x)?由李普希兹条件，得
?xx0f(?,?1(?))?f(?,?0(?))d?
x?x0 ?2(x)??1(x)?N??1(?)??0(?)d??MN???x0d??MNx0x02!xx2 下面用数学归纳法证明
?n(x)??n?1(x)?MNn?1x?x0 n!n显然，n?1,2的时候，不等式成立（上面已经给出）， 假设?n(x)??n?1(x)?MNn?1x?x0成立，那么对于n?1的情形有 n!xx0n?n?1(x)??n(x)??MNn?x?xx0f(?,?n(?))?f(?,?n?1(?))d??N??n(?)??n?1(?)d?n?1??x0n!nx0x?x0d??MNn(n?1)!
由数学归纳法知，对一切自然数n，均有?n(x)??n?1(x)?MN又x?x0?h0，所以级数（2.4）的通项满足：
n?1x?x0 n!n?n?1(x)?vn?MNn?1h0n （n?1,2,?） n!利用比式判别法，可知以vn为通项的级数收敛，从而以?n(x)为通项的级数
常微分方程二章
